Está bien esta prueba que me dió la IA?
Desigualdades de Hoeffding (prueba mediante orden convex)
Sea \(X=\sum_{i=1}^n B_i\) donde \(B_i\sim\operatorname{Bern}(p_i)\) son independientes y
\(\bar p=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n p_i\). Sea además \(\bar X\sim\operatorname{Bin}(n,\bar p)\).
si \(0\le k\le n\bar p-1\) entonces
\[
\mathbb{P}(X\le k)\le \mathbb{P}(\bar X\le k),
\]
si \(n\bar p\le k\le n\) entonces
\[
\mathbb{P}(X\le k)\ge \mathbb{P}(\bar X\le k).
\]
La prueba consta de dos pasos principales.
Paso 1. Demostraremos que para toda función convexa \(\varphi:\{0,1,\dots,n\}\to\mathbb{R}\) se cumple
\[
\mathbb{E}\big[\varphi(X)\big]\le \mathbb{E}\big[\varphi(\bar X)\big].
\]
Es decir, \(X\) es menor que \(\bar X\) en el orden convex (denotado \(X\le_{cx}\bar X\)).
Sea \(\varphi\) convexa. Considérese primero el caso de dos Bernoullis con parámetros \(p\) y \(q\):
si \(S(p,q)=\mathrm{Bern}(p)+\mathrm{Bern}(q)\), entonces
\[
g(p)=\mathbb{E}[\varphi(S(p,q))] =
(1-p)(1-q)\varphi(0) + (p(1-q)+q(1-p))\varphi(1) + pq\,\varphi(2).
\]
Viendo \(g\) como función de \(p\) (con \(q\) fijado), el coeficiente de \(p^2\) es
\(\tfrac12\big(\varphi(0)-2\varphi(1)+\varphi(2)\big)\ge 0\) por convexidad de \(\varphi\),
por lo que \(g\) es convexa en \(p\). Por convexidad,
\[
g(p)+g(q)\le 2\,g\!\Big(\frac{p+q}{2}\Big),
\]
es decir, el valor esperado de \(\varphi\) asociado al par \((p,q)\) no excede
al correspondiente al par \((\tfrac{p+q}{2},\tfrac{p+q}{2})\).
Aplicando esta operación de (promediado por pares) de forma iterada sobre las \(n\) probabilidades
\((p_1,\dots,p_n)\) (cada paso reemplaza un par desigual \((p_i,p_j)\) por su promedio),
cada reemplazo no disminuye \(\mathbb{E}[\varphi(\cdot)]\). Repetimos hasta que todos los parámetros
son iguales a \(\bar p\). Por tanto
\[
\mathbb{E}[\varphi(X)] \le \mathbb{E}\Big[\varphi\Big(\sum_{i=1}^n \mathrm{Bern}(\bar p)\Big)\Big]
= \mathbb{E}[\varphi(\bar X)],
\]
lo que prueba el Paso 1.
Paso 2. Deducimos las desigualdades de cola a partir del orden convex demostrado.
Consideremos las funciones convexas en \(x\in\{0,1,\dots,n\}\) definidas por
\(\psi_k(x)=(k-x)_+=\max\{k-x,0\}\) y \(\phi_k(x)=(x-k)_+=\max\{x-k,0\}\).
Para \(k\) entero se verifica la identidad discreta
\[
(k-X)_+ = \sum_{j=0}^{k-1} \mathbf{1}\{X\le j\},
\]
pues para una realización \(X=m\) el miembro izquierdo cuenta exactamente
cuántos enteros \(j\in\{0,\dots,k-1\}\) satisfacen \(m\le j\).
Tomando esperanza,
\[
\mathbb{E}[(k-X)_+] = \sum_{j=0}^{k-1} \mathbb{P}(X\le j).
\]
Como \(\psi_k\) es convexa, del Paso 1 obtenemos
\[
\mathbb{E}[(k-X)_+] \le \mathbb{E}[(k-\bar X)_+],
\]
y por la identidad anterior
\[
\sum_{j=0}^{k-1} \mathbb{P}(X\le j) \le \sum_{j=0}^{k-1} \mathbb{P}(\bar X\le j).
\]
Restando la misma desigualdad válida para \(k-1\) (es decir, telescopando) se deduce que
para cada entero \(j\le k-1\) se cumple
\[
\mathbb{P}(X\le j)\le \mathbb{P}(\bar X\le j).
\]
En particular, si tomamos \(k=\lfloor n\bar p\rfloor\) y razonamos con las posiciones relativas
respecto de la media, se obtiene que para todo entero \(j\) con \(j\le n\bar p-1\)
se tiene
\[
\mathbb{P}(X\le j)\le \mathbb{P}(\bar X\le j).
\]
De forma análoga, usando la función convexa \(\phi_k(x)=(x-k)_+\) y aplicando el mismo
argumento a las colas superiores (o bien aplicando el resultado anterior a las variables reflejadas
\(n-X\) y \(n-\bar X\)), se obtiene que para \(j\ge n\bar p\)
se cumple la desigualdad opuesta:
\[
\mathbb{P}(X\le j)\ge \mathbb{P}(\bar X\le j).
\]
Esto demuestra las desigualdades solicitadas y completa la prueba.
Del Paso 1, tomando \(\varphi(x)=x^2\) (función convexa), se recupera inmediatamente
que \(\operatorname{Var}(\bar X)\ge \operatorname{Var}(X)\) cuando las medias coinciden,
es decir, la binomial con parámetros iguales maximiza la varianza entre las Poisson--binomial
con una misma media.
