El radio del circulo inscrito
oficial sigue sin aparecer.
Suponiendo el triángulo de arcos de radio 1 y situado en unos ejes de coordenadas con su origen en el punto de intersección de la circunferencia inscrita con el arco A2, fácilmente podemos acotar los puntos de interés.
Por intersección de circunferencias
Este método es el que considero de libro, pero pesado de trabajar.
La ecuación de la circunferencia del círculo A1 es:
\( \left( x+sen15º \right)^{2}+\left( y-cos15º+1 \right)^{2}=1 \)
La ecuación del círculo inscrito es:
\( x^{2}+\left( y-r \right)^{2}=r^{2} \)
Para que ambas circunferencias sean tangentes, la solución del sistema de sus ecuaciones ha de ser única.
Restando las dos ecuaciones conseguimos la recta eje radical de ambas. Esta recta con cualquiera de las circunferencias nos conduce a una ecuación de segundo grado. Igualamos el discriminante a 0.
Por potencia de un punto respecto a una circunferencia.
Conocida la ecuación de la circunferencia la potencia de un punto respecto a ella es:
\( P=\left( x_{o}+sen15º \right)^{2}+\left( y_{o}-cos15º+1 \right)^{2}-1 \)
La potencia del punto C por ser interior ha de ser negativa y producto de los segmentos CQ y CQ’ por tanto:
\( P=-r\left( 2-r \right) \)
Quedando:
\( sen^{2}15º+\left( r-cos15º+1 \right)^{2}=r\left( r-2 \right) \)
Por centro radical de varias circunferencias.
El centro radical de las circunferencias tangentes a dos circunferencias es un punto alineado con los centros de las circunferencias y divide su segmento en partes proporcionales a los radios. En este caso CR en el punto medio de C1 y C2, siendo la potencia igual a 1. Esto supone que, si las circunferencias tangentes a los arcos son tangentes entre sí, sus puntos de tangencia están sobre una circunferencia.
De esta forma por Pitágoras podemos escribir:
\( sen^{2}\left( \frac{15}{2} \right)+\left( cos\left( \frac{15}{2} \right)-1+r \right)^{2}=1+r^{2} \)
Por intersección de elipses (hipérbolas)
Los centros de las circunferencias tangentes a dos circunferencias están sobre una elipse (hipérbola).
La ecuación de la elipse para A1 y A2 es fácil de determinar:
\( \sqrt{\left( x+sen15º \right)^{2}+\left( y-cos15º+1 \right)^{2}}+\sqrt{x^{2}+\left( y+1 \right)^{2}}=2 \)
Y la recta (elipse o hipérbola extrema para A2 y A3)
\( x=0 \)
Su intersección nos determina el centro
Por circunferencia generatriz de la elipse
El punto de intersección de una elipse con una recta que pasa por su foco es fácil de determinar, forma de trazar las tangentes a una elipse.
Si C’2 es un punto de la circunferencia generatriz y la prolongación de un radioector, basta hacer CC’2=CC1
\( sen^{2}15º+\left( cos15º-1+r \right)^{2}=\left( 1-r \right)^{2} \)
Espero no haberme liado con LaTeX
Saludos
