[RH]

\( \displaystyle\lim_{i \to{+}\infty}{\frac{\sum_{k=1}^{i} \left(n_k - \sum_{j=1}^{k} \frac{1}{n_j} \right)}{n_i^2}} \)

También cometí un error con la notación, éste sí parece que es  \( \displaystyle\frac{1}{2} \)

[Juan Pablo Sancho]

\( \displaystyle\lim_{i \to{+}\infty}{\frac{\sum_{k=1}^{i} \left(n_k - \sum_{j=1}^{k} \frac{1}{n_j} \right)}{n_i^2}} \)

También cometí un error con la notación, éste sí parece que es  \( \displaystyle\frac{1}{2} \)

Ahora no tiene nada que ver con el primero y no tiene sentido, tienes una sucesión \( \{n_k\}_{k=1}^{+\infty}  \) sin definir.

[Juan Pablo Sancho]

\( \displaystyle\lim_{i \to{+}\infty}{\frac{\sum_{k=1}^{i} \left(n_k - \sum_{j=1}^{k} \frac{1}{n_j} \right)}{n_i^2}} \)

También cometí un error con la notación, éste sí parece que es  \( \displaystyle\frac{1}{2} \)

Ahora no tiene nada que ver con el primero y no tiene sentido, tienes una sucesión \( \{n_k\}_{k=1}^{+\infty}  \) sin definir.

Es verdad. Quería decir éste:

\( \displaystyle\lim_{i \to{+}\infty}{\frac{\sum_{k=1}^{i} \left(n_k - \sum_{j=1}^{k} \frac{1}{n_j} \right)}{n^2}} \)

Insisto ¿qué vale \( n_k \)?

[RH]

 k es el índice, del sumatorio. No es una variable aparte. Creo que es eso a lo que te refieres.

[Juan Pablo Sancho]

Pero tendré que saber que vale \( n_k \) para cada \( k \).

[RH]

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{n_i-\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\sum_{k=1}^i{\displaystyle\frac{1}{n_k}}}}}{n^2}} \)

No sé si así está más claro, me líe.

[Juan Pablo Sancho]

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{n_i-\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\sum_{k=1}^i{\displaystyle\frac{1}{n_k}}}}}{n^2}} \)

No sé si así está más claro, me líe.

El día de la marmota, pero defíneme \( n_i \) por favor, para cada \( i \) que vale \( n_i \).

[RH]

Ah , perdona, si te refieres a que si\( k=1, n_k=1 ; k=2, n_k=2... \)

[Juan Pablo Sancho]

Entonces el límite es como indicas \( \dfrac{1}{2}  \).

Pero fíjate en la diferencia de lo que pedías en el primer mensaje y lo que propones ahora.

Primer mensaje:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{\sum_{k=1}^n \left( n - \sum_{j=1}^k \frac{1}{j} \right)}{n^2}} \)

Ahora:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\frac{\sum_{k=1}^n \left( k - \sum_{j=1}^k \frac{1}{j} \right)}{n^2}} \)

Se resuelve:

\( \displaystyle \sum_{j=1}^n m_j = \displaystyle \sum_{j=1}^n j = \dfrac{n \cdot (n+1)}{2}  \) luego:

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\displaystyle \sum_{j=1}^n j}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n+1}{2n} = \dfrac{1}{2}  \)

[Masacroso]

Para dos también Stolz-Cesàro

Sí, mucho mejor que algo nada trivial (y tan particular) como la aproximación de Strling, la verdad. Sólo una vez (que recuerde) utilicé el teorema de Stolz-Cesàro, por eso no es un teorema que tenga presente usualmente, pero en casos así viene de perlas.

He añadido otra forma de resolver el ejercicio, a mi respuesta anterior, que tampoco utiliza la aproximación de Stirling, pero al final vuelvo a utilizar el límite \( \lim_{n\to \infty }(H_n-\ln n)=\gamma  \) para finalizar, pero en vez de eso podemos aplicar el teorema de Stolz-Cesàro, mucho más bonito, y quedaría

\[
\lim_{n\to \infty }\frac{H_{n+1}}{n}=\lim_{n\to \infty }\frac{H_{n+2}-H_{n+1}}{(n+1)-n}=\lim_{n\to \infty }\frac1{n+2}=0
\]