[Marcos Castillo]

Estimado Rincón, ahí va el texto, la duda y el intento:

"En la mayoría de las aplicaciones de la integración, dentro y fuera de las matemáticas, aparece la integral definida

\( I=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx \)

Gracias al Teorema Fundamental del Cálculo, se pueden calcular estas integrales definidas obteniendo primero una primitiva de \( f \). (...) Sin embargo, hay dos obstáculos que pueden impedir el cálculo de una primitiva de \( f \):

(i) El cálculo de una primitiva expresada por medio de funciones familiares puede ser imposible, o al menos muy difícil.

(ii) A veces no se dispone de una fórmula de \( f(x) \) en función de \( x \). Por ejemplo, \( f(x) \) puede ser una función desconocida cuyos valores en diversos puntos del intervalo \( [a,\,b] \) se han determinado mediante medidas experimentales.

(...) vamos a considerar el problema de aproximar el valor de una integral definida \( I \) conociendo sólo valores de \( f(x) \) en un número finito de puntos del intervalo \( [a,\,b] \).

(...)

La Regla del Trapecio

Supongamos que \( f(x) \) es continua en el intervalo \( [a,\,b] \) y subdividimos el intervalo \( [a,\,b] \) en \( n \) subintervalos de la misma longitud \( h=(b-a)/n \) uttilizando \( n+1 \) puntos.

\( x_0=a,\quad x_1=a+h,\quad x_2=a+2h,\quad\cdots\quad x_n=a+nh=b \)

Supongamos que el valor de \( f(x) \) en cada uno de los puntos es conocido:

\( y_0=f(x_0),\quad y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2),\quad\cdots\quad y_n=f(x_n) \)

La Regla del Trapecio aproxima \( \int_a^b\,f(x)\,dx \) utilizando segmentos de rectas entre los puntos \( (x_{j-1},\,y_{j-1}) \) y \( (x_j,\,y_j),\quad (1\leq j\leq n) \) para formar una aproximación a la gráfica de \( f \), como se muestra en la figura, y suma las áreas de los n trapecios resultantes.



Los vértices del primer trapecio son \( (x_0,\,0),\,(x_0,\,y_0),\,(x_1,\,y_1) \) y \( (x_1,\,0) \). Los dos lados paralelos son verticales y sus longitudes son \( y_0 \) y \( y_1 \). La distancia perpendicular entre dichos lados es \( h=x_1-x_0 \). El área de ese trapecio es \( h \) veces el promedio de las longitudes de los lados paralelos:

\( h\cfrac{y_0+y_1}{2} \)

Esto se puede ver geométricamente considerando que el trapecio es la unión sin solapamiento de un rectángulo y un triángulo: véase la figura. Utilizaremos el trapecio para aproximar la integral de \( f \) en el primer subintervalo \( [x_0,\,x_1] \):

\( \displaystyle\int_{x_0}^{x_1}\,f(x)\,dx\approx{h\cfrac{y_0+y_1}{2}} \)

El área del trapecio es \( y_1h+\frac{1}{2}(y_0-y_1)h=\frac{1}{2}h(y_0+y_1) \)

La integral de \( f \) en cualquier otro subintervalo se puede aproximar de la misma forma:

\( \displaystyle\int_{x_{j-1}}^{x_j}\,f(x)\,dx\approx{h\cfrac{y_0+y_1}{2}}\qquad{(1\leq j\leq n)} \)

Se deduce entonces que la integral original \( I \) se puede aproximar mediante la suma de estas áreas

\( \displaystyle\int_{a}^{b}\,f(x)\,dx\approx{h\Bigg (\cfrac{y_0+y_1}{2}+\cfrac{y_1+y_2}{2}+\cfrac{y_2+y_3}{2}+\cdots{+\cfrac{y_{n-1}+y_{n}}{2}}\Bigg )}=h\Bigg (\frac{1}{2}y_0+y_1+y_2+y_3+\cdots{+y_{n-1}+\frac{1}{2}y_n}\Bigg ) \)

Definición: La Regla del Trapecio

La aproximación \( \int_a^b\,f(x)\,dx \) mediante la Regla del Trapecio con \( n \) subintervalos, que denominaremos \( T_n \), es

\( T_n=h\Big (\frac{1}{2}y_0+y_1+y_2+y_3+\cdots{+y_{n-1}+\frac{1}{2}y_n}\Big ) \)

Ilustraremos ahora la Regla del Trapecio utilizándola para aproximar una integral cuyo valor ya es conocido

\( I=\displaystyle\int_{1}^{2}\cfrac{1}{x}\,dx=\ln{2}=0.693\,147\,18... \)

Este valor, y el de todas las aproximaciones que se verán en esta sección, se han calculado utilizando una calculadora científica.

Ejemplo 1 Calcule las aproximaciones mediante la Regla del Trapecio \( T_4,\,T_8 \) y \( T_{16} \) a la integral

\( I=\int_1^2\cfrac{1}{x}\,dx \)

Solución Para \( n=4 \) tenemos que \( h=(2-1)/4 \); para \( n=8 \) tenemos que \( h=1/8 \) y para \( n=16 \) tenemos que \( h=1/16 \). Por tanto,

\( T_4=\cfrac{1}{4}\Bigg [\cfrac{1}{2}(1)+\cfrac{4}{5}+\cfrac{2}{3}+\cfrac{4}{7}+\cfrac{1}{2}\Bigg (\cfrac{1}{2}\Bigg )\Bigg ]=0.697\,023\,81... \)

\( T_8=\cfrac{1}{8}\Bigg [\cfrac{1}{2}(1)+\cfrac{8}{9}+\cfrac{4}{5}+\cfrac{8}{11}+\cfrac{2}{3}+\cfrac{8}{13}+\cfrac{4}{7}+\cfrac{8}{15}+\cfrac{1}{2}\Bigg (\cfrac{1}{2}\Bigg )\Bigg ]
=\cfrac{1}{8}\Bigg [4T_4+\cfrac{8}{9}+\cfrac{8}{11}+\cfrac{8}{13}+\cfrac{8}{15}\Bigg ]=0.694\,121\,85... \)

\( T_{16}=\Bigg [8T_8+\cfrac{16}{17}+\cfrac{16}{19}+\cfrac{16}{21}+\cfrac{16}{23}+\cfrac{16}{25}+\cfrac{16}{27}+\cfrac{16}{29}+\cfrac{16}{31}\Bigg ]=0.693\,391\,20... \)

La Regla del Punto Medio

Una aproximación más simple \( \int_a^b\,f(x)\,dx \), basada en la partición del intervalo \( [a,\,b] \) en \( n \) subintervalos iguales, forma una suma de Riemann de las áreas de rectángulos cuyas alturas se toman en los puntos medios de los \( n \) subintervalos.

Definición 4 La Regla del punto medio

Si \( h=(b-a)/n \), sea \( m_j=a+(j-\frac{1}{2})h \) para \( 1\leq j\leq n \). La aproximación a la integral \( \int_a^b\,f(x)\,dx \) mediante la Regla del Punto Medio, que se expresará como \( M_n \), es

\( M_n=h(f(m_1)+f(m_2)+\cdots{+f(m_n)})=h\displaystyle\sum_{j=1}^n{f(m_j)} \)

Ejemplo Mediante la Regla del Punto Medio, calcule las aproximaciones \( M_4 \) y \( M_8 \) a la integral \( I=\displaystyle\int_{1}^{2}\cfrac{1}{x}\,dx \)

Solución Para calcular \( M_4 \), el intervalo \( [1,\,2] \) se divide en cuatro subintervalos iguales:

\( \Bigg [1,\,\cfrac{5}{4}\Bigg ],\quad \Bigg [\cfrac{5}{4},\,\cfrac{3}{2}\Bigg ],\quad \Bigg [\cfrac{3}{2},\,\cfrac{7}{4}\Bigg ] \) y \( \Bigg [\cfrac{7}{4},\,2\Bigg ] \)

Los puntos medios de estos intervalos son \( 9/8 \), \( 11/8 \), \( 13/8 \) y \( 15/8 \), respectivamente. Los puntos medios de los intervalos para \( M_8 \) se obtienen de forma similar. Las aproximaciones mediante la Regla del Punto Medio son:

\( M_4=\cfrac{1}{4}\Bigg [\cfrac{8}{9}+\cfrac{8}{11}+\cfrac{8}{13}+\cfrac{8}{15}\Bigg ]=0.691\,219\,89... \)

\( M_8=\cfrac{1}{8}\Bigg [\cfrac{16}{17}+\cfrac{16}{19}+\cfrac{16}{21}+\cfrac{16}{23}+\cfrac{16}{25}+\cfrac{16}{27}+\cfrac{16}{29}+\cfrac{16}{31}\Bigg ]=0.692\,660\,55... \)

Un problema de la Regla del Punto Medio es que no podemos reutilizar los valores de \( f \) calculados para \( M_n \) cuando calculamos \( M_{2n} \). Sin embargo, Para calcular \( T_{2n} \) se pueden utilizar los valores de datos calculados para \( T_n \) y \( M_n \). Concretamente,

\( T_{2n}=\frac{1}{2}(T_n+M_n) \)

Una buena estrategia para estos métodos, en la obtención del valor de una integral \( I \) con un grado de precisión deseado, es calcular sucesivamente:

\( T_n,\qquad M_n,\qquad T_{2n}=\cfrac{T_n+M_n}{2},\qquad M_{2n},\qquad T_{4n}=\cfrac{T_{2n}+M_{2n}}{2},\qquad M_{4n},\cdots{} \)

hasta que dos términos consecutivos se parezcan suficcientemente. Si sólo se desea una única aproximación rápida, \( M_n \) es una mejor opción que \( T_n \)."

Duda: ¿Por qué \( T_{2n}=\frac{1}{2}(T_n+M_n) \)?

Intento: Es una media aritmética: \( \bar{x}=\cfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i} \); para \( n=1 \), por ejemplo, \( T_2=\frac{1}{2}(T_1+M_1) \).

El intento es un poco nada.

Un saludo.

[ani_pascual]

Hola:

...
Duda: ¿Por qué \( T_{2n}=\frac{1}{2}(T_n+M_n) \)?

Intento: Es una media aritmética: \( \bar{x}=\cfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i} \); para \( n=1 \), por ejemplo, \( T_2=\frac{1}{2}(T_1+M_1) \).

El intento es ...

Si se consideran dos intervalos consecutivos y arbitrarios de la subdivisión en \( 2n \) partes, por ejemplo, \( [x_{i-1},x_i], [x_i,x_{i+1}] \), cada uno de ellos de longitud, digamos, \( \dfrac{h}{2} \), se tiene que \( x_i \) es el punto medio del intervalo \( [x_{i-1},x_{i+1}] \), de longitud \( h \), correspondiente a la subdivisión en \( n \) partes, luego \( T_n+M_n=h\cdot\dfrac{(y_{i-1}+y_{i+1})}{2}+hy_i=\dfrac{h}{2}(y_{i-1}+y_i)+\dfrac{h}{2}(y_i+y_{i+1})=2T_{2n} \)
Saludos

[Richard R Richard]

(...) vamos a considerar el problema de aproximar el valor de una integral definida \( I \) conociendo sólo valores de \( f(x) \) en un número finito de puntos del intervalo \( [a,\,b] \).

La Regla del Trapecio

Hola Marcos solo una  acotación bastante al margen de lo que preguntas, para que tomes cierta dimensión del tema, quizá a futuro lo estudies y me esté adelantando,  usar la regla del trapecio es una de muchisimas herramientas mas o menos sencillas para enfrentar el cálculo numérico de una integral en intervalos. Yo siempre que programo, con tiempo, reemplazo ese método por otros un tanto más precisos como ser el de la regla de Simpson https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson

Hay variedad de métodos que con un pequeño paso extra manipulando uno o varios subintervalos consecutivos, puedes mejorar radicalmente la precisión de tu resultado.

En el libro de Burden y Faires hacen un relevamiento de los principales métodos de integración numérica https://books.google.com.ar/books/about/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico.html?id=2M-F1n4-1JIC&redir_esc=y

[Marcos Castillo]

Si se consideran dos intervalos consecutivos y arbitrarios de la subdivisión en \( 2n \) partes, por ejemplo, \( [x_{i-1},x_i], [x_i,x_{i+1}] \), cada uno de ellos de longitud, digamos, \( \dfrac{h}{2} \), se tiene que \( x_i \) es el punto medio del intervalo \( [x_{i-1},x_{i+1}] \), de longitud \( h \), correspondiente a la subdivisión en \( n \) partes, luego \( T_n+M_n=h\cdot\dfrac{(y_{i-1}+y_{i+1})}{2}+hy_i=\dfrac{h}{2}(y_{i-1}+y_i)+\dfrac{h}{2}(y_i+y_{i+1})=2T_{2n} \)

Genial.

, para que tomes cierta dimensión del tema, quizá a futuro lo estudies y me esté adelantando,  usar la regla del trapecio es una de muchisimas herramientas mas o menos sencillas para enfrentar el cálculo numérico de una integral en intervalos. Yo siempre que programo, con tiempo, reemplazo ese método por otros un tanto más precisos como ser el de la regla de Simpson https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson

El libto, de momento, sólo habla del Trapecio y del Punto medio, pero tiene mucho mejor aspecto la Regla de Simpson.

Un saludo y mil gracias, estimado Rincón.

[Marcos Castillo]

Estimado Rincón, he llegado a la Regla de Simpson. Ahí van el texto, las dudas, y el mini intento:

La Regla de Simpson

La aproximación mediante la Regla del Trapecio a la integral \( \int_a^b\,f(x)dx \) surge de aproximar la gráfica de la función \( f \) mediante segmentos de rectas entre parejas de puntos adyacentes de la gráfica. Intuitivamente, podemos pensar que el resultado de la aproximación será mejor si aproximamos la gráfica mediante curvas más generales. Como las rectas son las gráficas de las funciones lineales, la siguiente generalización en la que podemos pensar es utilizar la clase de las funciones cuadráticas, es decir, aproximarnos a la gráfica mediante segmentos de parábolas. Esta es la idea básica de la Regla de Simpson.

Supongamos que tenemos tres puntos del plano, cada uno de ellos perteneciente a una de las tres rectas equiespaciadas horizontalmente, por ejemplo, \( h \) unidades. Si escogemos la recta central como eje \( y \), entonces las coordenadas de los tres puntos podrían ser, por ejemplo, \( (-h,\,y_L) \), \( (0,\,y_M) \), y \( (h,\,y_R) \), como se muestra en la figura.



Las constantes \( A \), \( B \) y \( C \) se escogen de forma que la parábola \( y=A+Bx+Cx^2 \) pase por esos puntos. Sustituyendo las coordenadas de los tres puntos en la ecuación de la parábola resulta

\( \left . \begin{matrix}y_L=A-Bh+Ch^2 \\ y_M=A\\ y_R=A+Bh+Ch^2 \end{matrix}\right \}\Rightarrow{A=y_M\quad{\text{y}}\quad{2Ch^2=y_L-2y_M+y_R}} \)

Tenemos ahora que

\( \displaystyle\int_{-h}^{h}\,(A+Bx+Cx^2)\,dx=\Bigg (Ax+\cfrac{B}{2}x^2+\cfrac{C}{3}x^3\Bigg )\Bigg |_{-h}^{h}=2Ah+\cfrac{2}{3}Ch^3= \)

\( =h\Bigg (2y_M+\cfrac{1}{3}(y_L-2y_M+y_R)\Bigg )= \)

\( =\cfrac{h}{3}(y_L+4y_M+y_R) \)

Por tanto, el área de la región plana limitada por el arco de parábola, el intervalo de longitud \( 2h \) en el eje \( x \) y las rectas verticales izquierda y derecha es igual a \( (h/3) \) veces la suma de las alturas de la región en sus extremos izquierdo y derecho más cuatro veces su altura en el centro (esto es independiente de la posición del eje \( y \)).

Supongamos ahora que tenemos los mismos datos sobre \( f \) que los que son necesarios para aplicar la Regla del Trapecio, es decir, que conocemos los valores \( y_j=f(x_j)\,(0\leq j\leq n) \) en \( n+1 \) puntos equiespaciados

\( x_0=a,\quad x_1=a+h,\quad x_2=a+2h,\quad \cdots \quad x_n=a+nh=b \)

siendo \( h=(b-a)/n \). Podemos aproximar la gráfica de \( f \) utilizando parejas de subintervalos \( [x_{j-1},\,x_j] \), mediante segmentos parabólicos, y utilizar las integrales de los correspondientes segmentos cuadráticos para aproximar la integral de \( f \) en esos subintervalos. Como necesitamos utilizar dos intervalos a la vez, hay que suponer que \( n \) es par. Utilizando la integral del semento parabólico calculada anteriormente, tenemos que

\( \displaystyle\int_{x_0}^{x_2}\,f(x)\,dx\approx{\cfrac{h}{3}(y_0+4y_1+y_2)} \)

\( \displaystyle\int_{x_2}^{x_4}\,f(x)\,dx\approx{\cfrac{h}{3}(y_2+4y_3+y_4)} \)

\( \vdots{} \)

\( \displaystyle\int_{x_{n-2}}^{x_n}\,f(x)\,dx\approx{\cfrac{h}{3}(y_{n-2}+4y_{n-1}+y_n)} \)

Sumando las n\( n/2 \) aproximaciones, se obtiene la aproximación a la integral \( \int_a^b\,f(x)\,dx \) mediante la Regla de Simpson.

DEFINICIÖN La Regla de Simpson

La aproximación a la integral \( \int_a^b\,f(x)\,dx \) mediante la Regla de Simpson basada en una subdivisión del intervalo \( [a,\,b] \) en un número par \( n \) de subintervalos de la misma longitud \( h=(b-a)/n \) se denomina \( S_n \) y es:

\( \displaystyle\int_a^b\,f(x)\,dx\approx{S_n} \)

\( =\cfrac{h}{3}\Bigg ( \displaystyle\sum{y_{\text{"extremos"}}}+4\displaystyle\sum{y_{\text{"impares"}}}+2\displaystyle\sum{y_{\text{"pares"}}}\Bigg ) \)

Observación La Regla de Simpson \( S_{2n} \) hace uso de los mismos \( 2n+1 \) valores de datos que usan conjuntamente \( T_n \) y \( M_n \). No es difícil verificar que

\( S_{2n}=\cfrac{T_n+2M_n}{3} \)

Intento por verificar esto último

\( T_n=h\Bigg (\cfrac{1}{2}y_0+y_1+y_2+y_3+\cdots{+\cfrac{1}{2}y_n}\Bigg ) \)

\( 2M_n=2h(f(m_1)+f(m_2)+\cdots{+f(m_n)}) \)

\( S_n=\cfrac{h}{3}(y_0+4y_1+2y_2+4y_3+2y_4+\cdots{+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_n}) \)

\( S_{2n}=\cfrac{h}{3}(y_0+f(m_1)+2y_2+f(m_2)+2y_4+\cdots{+2y_{n-2}+f(m_{n})+y_n}) \)

El libro de texto aporta esta imagen:



Un saludo

[ani_pascual]

...

La Regla de Simpson
...

Creo que se podría expresar así:
\( S_n=\dfrac{h}{3}\left(y_0+4\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}}y_{2k-1}+2\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1}y_{2k}+y_n\right) \) donde es \( y_j=f(x_j),\,\,\forall\,0\leq j\leq n, \) con \( y_0=f(a), y_n=f(b) \) y \( n  \) par.
Saludos

[Richard R Richard]

 Hola a todos, hace mucho que no practico esto,  pero estoy casi seguro que el método funciona interpolando el valor de la función para el punto del centro de cada  subintervalo, es decir si hay n subintervalos el valor final, en la sumatoria entra 
una vez sola cada extermo el intervalo total,
 4 veces  el valor interpolado para cada punto medio de cada subinervalo,
y dos veces los puntos de extremos de cada sub intervalo.


La ventaja radica en que esa interpolación aporta mucha mas informacion (o de mejor presicion o calidad) sobre la función que los valores de la función en extermos de cada subintervalo.   

[ani_pascual]

Hola:

...
\( S_{2n}=\cfrac{T_n+2M_n}{3} \)

Intento por verificar esto último

\( T_n=h\Bigg (\cfrac{1}{2}y_0+y_1+y_2+y_3+\cdots{+\cfrac{1}{2}y_n}\Bigg ) \)

\( 2M_n=2h(f(m_1)+f(m_2)+\cdots{+f(m_n)}) \)

\( S_n=\cfrac{h}{3}(y_0+4y_1+2y_2+4y_3+2y_4+\cdots{+2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_n}) \)

\( S_{2n}=\cfrac{h}{3}(y_0+f(m_1)+2y_2+f(m_2)+2y_4+\cdots{+2y_{n-2}+f(m_{n})+y_n}) \)

...

Argumentando de forma similar a como se hizo aquí, y si no me equivoco...  se tendría que \( T_n+2M_n=h\cdot \dfrac{(y_{i-1}+y_{i+1})}{2}+2hy_i=\dfrac{h}{2}\left(y_{i-1}+4y_i+y_{i+1}\right)=3\cdot \dfrac{h/2}{3}\left(y_{i-1}+4y_i+y_{i+1}\right)=3S_{2n} \) de donde \( S_{2n}=\dfrac{T_n+2M_n}{3} \)
Saludos

[Marcos Castillo]

\( S_n=\dfrac{h}{3}\left(y_0+4\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}}y_{2k-1}+2\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1}y_{2k}+y_n\right) \) donde es \( y_j=f(x_j),\,\,\forall\,0\leq j\leq n, \) con \( y_0=f(a), y_n=f(b) \) y \( n  \) par.

Esto es brillante.

La ventaja radica en que esa interpolación aporta mucha mas informacion (o de mejor presicion o calidad) sobre la función que los valores de la función en extermos de cada subintervalo.   

Sí.

\( T_n+2M_n=h\cdot \dfrac{(y_{i-1}+y_{i+1})}{2}+2hy_i=\dfrac{h}{2}\left(y_{i-1}+4y_i+y_{i+1}\right)=3\cdot \dfrac{h/2}{3}\left(y_{i-1}+4y_i+y_{i+1}\right)=3S_{2n} \) de donde \( S_{2n}=\dfrac{T_n+2M_n}{3} \)

 

Un saludo, estimado Rincón