[Julio_fmat]

En \( \mathbb{Z} \) se considera la relación \( R \) definida mediante:

\( aRb \longleftrightarrow a^2=b^2 \, \vee \, a^2+b^2=4 \)

a) Demostrar que \( R \) es una relación de equivalencia.

b) Determinar \( \left[x\right] \) para \( x\in \mathbb{Z} \).

Hola, ¡buenos días a todos los foristas! Tengo este problema que no he podido resolver, si me pueden hechar una mano. Agradecido. Muchas Gracias.

[ani_pascual]

Hola:

En \( \mathbb{Z} \) se considera la relación \( R \) definida mediante:

\( aRb \longleftrightarrow a^2=b^2 \, \vee \, a^2+b^2=4 \)

a) Demostrar que \( R \) es una relación de equivalencia.

b) Determinar \( \left[x\right] \) para \( x\in \mathbb{Z} \).

Hola, ¡buenos días a todos los foristas! Tengo este problema que no he podido resolver, si me pueden hechar una mano. Agradecido. Muchas Gracias.

Supongo que no tendrás problema en demostrar que \( R \) es una relación de equivalencia.
Para la segunda parte, si es \( x\in\mathbb{Z}\setminus \{-2,0,2\} \) entonces su clase de equivalencia es \( [x]=\{-x,x\} \). Ahora bien, si es \( x\in\{-2,0,2\} \) entonces es \( [x]=\{-2,0,2\} \). Observa que \(  (-2)^2=2^2, (-2)^2+0^2=2^2+0^2=4 \).
Saludos

[Julio_fmat]

Muchas gracias ani_pascual por la ayuda  .

Me podrías echar una mano con la parte de demostrar que es relación de equivalencia? Me confundo un poco con lo del ó lógico. Gracias.

[ani_pascual]

Hola:

..

Me podrías echar una mano con la parte de demostrar que es relación de equivalencia? Me confundo un poco con lo del ó lógico. Gracias.

1) Reflexiva
 \(  \forall \, x\in\mathbb{Z}, \, x^2=x^2 \) luego también se cumple \( (x^2=x^2)\, \vee (x^2+x^2=4) \), aunque la segunda parte no se cumpla. Es decir, \( xRx \)
2) Simétrica
Dados
\( x,y\in\mathbb{Z} \) tales que \( xRy \) entonces \( (x^2=y^2)\,\vee (x^2+y^2=4) \) luego \( (y^2=x^2)\,\vee (y^2+x^2=4) \) de donde \( yRx \)
3) Transitiva
Dados
\( x,y, z\in\mathbb{Z} \) tales que \( xRy,\,yRz \) entonces \( (x^2=y^2)\,\vee (x^2+y^2=4) \) y \( (y^2=z^2)\,\vee (y^2+z^2=4) \).
Hay cuatro posibilidades:
a) Si \( (x^2=y^2)\,\wedge (y^2=z^2) \) entonces \( x^2=z^2\Longrightarrow (x^2=z^2)\vee (x^2+z^2=4) \) de donde \( xRz \)
b) Si \( (x^2=y^2)\,\wedge (y^2+z^2=4) \) entonces \( x^2+z^2=4\Longrightarrow (x^2=z^2)\vee (x^2+z^2=4) \) de donde \( xRz \)
c) Si \( (x^2+y^2=4)\,\wedge (y^2=z^2) \) entonces \( x^2+z^2=4\Longrightarrow (x^2=z^2)\vee (x^2+z^2=4) \) de donde \( xRz \)
d) Si \( (x^2+y^2=4)\,\wedge (y^2+z^2=4) \) entonces \( x^2=z^2\Longrightarrow (x^2=z^2)\vee (x^2+z^2=4) \) de donde \( xRz \)
En cualquier caso \( xRz \)
Saludos

[Julio_fmat]

Hola:

En \( \mathbb{Z} \) se considera la relación \( R \) definida mediante:

\( aRb \longleftrightarrow a^2=b^2 \, \vee \, a^2+b^2=4 \)

a) Demostrar que \( R \) es una relación de equivalencia.

b) Determinar \( \left[x\right] \) para \( x\in \mathbb{Z} \).

Hola, ¡buenos días a todos los foristas! Tengo este problema que no he podido resolver, si me pueden hechar una mano. Agradecido. Muchas Gracias.

Supongo que no tendrás problema en demostrar que \( R \) es una relación de equivalencia.
Para la segunda parte, si es \( x\in\mathbb{Z}\setminus \{-2,0,2\} \) entonces su clase de equivalencia es \( [x]=\{-x,x\} \). Ahora bien, si es \( x\in\{-2,0,2\} \) entonces es \( [x]=\{-2,0,2\} \). Observa que \(  (-2)^2=2^2, (-2)^2+0^2=2^2+0^2=4 \).
Saludos

Hola ani_pascual, muchas gracias por tu ayuda.

Pero no entiendo cómo es que llegas a ese resultado?

En mi curso de Matemática Discreta mi Profesor da esta definición:

\( \left[x \right]=C_x=\{y\in A: (y,x)\in R\}=\{y\in A: yRx\}=\{y\in A: (x,y)\in R \}=\{y\in A: xRy\} \)

O sea, las clases de equivalencia son un conjunto formado por pares ordenados que están en la relación... Pero, ¿qué significa realmente esta definición en este contexto?

En el curso de Álgebra Abstracta lo vi, pero se me olvidó casi todo lo que había aprendido... Si alguien pudiera aclararme bien este concepto estaría agradecido. Gracias.

[ani_pascual]

Hola:

...
Si alguien pudiera aclararme bien este concepto estaría agradecido. Gracias.

Según la definición, la clase de equivalencia de un elemento  \( x\in A \) es un subconjunto \( [x]=C_x\subset A \) formado por elementos  \( y\in A \) tales que \( (x,y)\in R\Longleftrightarrow xRy\Longleftrightarrow yRx\Longleftrightarrow (y,x)\in R \)
Es \( R \) el que es un subconjunto de \( A\times A \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Por incidir más en lo que apunta ani_pascual, en este caso:

\( [x]=\{y\in \Bbb Z|yRx\} \)

 Que \( yRx \) equivale a:

 \( y^2=x^2 \) es decir \( y=x \) ó \( y=-x \)

 ó

 \( x^2+y^2=4 \) Pero esto sólo es posible si \( x=-2,0,2 \) y respectivamente \( y=0,\pm 2,0 \)

  Conclusión:

- Si \( x=-2 \) entonces \( [x]=\{0,-2,2\} \).
- Si \( x=0 \) entonces \( [x]=\{0,-2,2\} \).
- Si \( x=2 \) entonces \( [x]=\{0,-2,2\} \).
- En otro caso \( [x]=\{x,-x\} \).

Saludos.