[Julio_fmat]

Demostrar usando inducción que \( L_n^2-5F_n^2=4(-1)^n \), para todo \( n\in \mathbb{N}. \)

[mathtruco]

Hola Julio_fmat.

Te pido:

    - Escribir la definición de la sucesión de Lucas y de Fibonacci.
    - Escribir algunos valores (5, por ejemplo) de cada una de las sucesiones.
    - Verificar tu igualdad para \( n=1 \), \( n=2 \), \( n=3 \), \( n=4 \) y \( n=5 \).

Con eso, ya debiera haber claridad para hacer la demostración por inducción.

Creo que la dificultad en este método de demostración es no darse suficientes ejemplos.

Luego de eso, trata de hacer la demostración y la revisamos.

[ani_pascual]

Hola;

Demostrar usando inducción que \( L_n^2-5F_n^2=4(-1)^n \), para todo \( n\in \mathbb{N}. \)

Si no te sale... te propongo la siguiente forma..., si bien, uso otros resultados previos

Spoiler

Se cumple para \( n=1 \); en efecto, \( 1^2-5\cdot 1^2=-4=4(-1)^1 \); si suponemos que la propiedad es cierta si \( \textcolor{blue}{\stackrel{Nota}{2}}\leq k\leq n \), veamos que entonces también es cierta para \( n+1 \).
Tenemos que \( L_{n+1}^2-5F_{n+1}^2=(L_n+L_{n-1})^2-5(F_n+F_{n-1})^2=L_n^2-5F_n^2+L_{n-1}^2-5F_{n-1}^2+2L_nL_{n-1}-5\cdot 2F_nF_{n-1}\stackrel{H.I.}{=}\\4(-1)^n+4(-1)^{n-1}+2(L_nL_{n-1}-5F_nF_{n-1})=2(L_nL_{n-1}-5F_nF_{n-1})\stackrel{(\ast)}{=}2[L_n^2-L_{n-1}^2+5(-1)^{n+1}-5F_nF_{n-1}]\stackrel{H.I.}{=}\\2[4(-1)^n+5F_n^2-(4(-1)^{n-1}+5F_{n-1}^2)+5(-1)^{n+1}-5F_nF_{n-1}]=2[5F_n^2-5F_{n-1}^2-5F_nF_{n-1}+5(-1)^{n+1}+2\cdot 4(-1)^n]\stackrel{(\ast \ast )}{=}\\2[5F_n^2-5F_{n+1}F_{n-1}+3(-1)^n]\stackrel{(\ast\ast\ast)}{=}2[5(-1)^{n+1}+3(-1)^n]=\boxed{4(-1)^{n+1}}\,\,q.e.d. \)
\( (\ast) \,\,L_n^2-L_{n-1}L_{n+1}=5(-1)^n\Longrightarrow L_n^2-L_{n-1}(L_n+L_{n-1})=L_n^2-L_{n-1}L_n-L_{n-1}^2=5(-1)^n\Longrightarrow L_nL_{n-1}=L_n^2-L_{n-1}^2+5(-1)^{n+1}\\
(\ast\ast)\,\,F_nF_{n-1}=(F_{n+1}-F_{n-1})F_{n-1}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n-1}^2\\
(\ast\ast\ast) \,\,\mbox{Identidad de Cassini} \,\,\,F_n^2-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n+1},\,\,\forall\,n\geq 2
 \)
Nota añadida:
La propiedad también es cierta si es \( n=2 \) ya que \( 3^2-5\cdot 1^2=4=4(-1)^2 \).
Como en la prueba se usa la igualdad de Cassini, válida para \( n\geq2 \), he modificado la H.I.   \( \textcolor{blue}{2}\leq k\leq n \)  en vez de \( \textcolor{red}{1}\leq k\leq n \).

[cerrar]

Saludos