[Alfonbraking]

Hay una interesante relación cuando juegas con los triángulos rectángulos, sus bisectrices y las perpendiculares aquí un caso:
Demostrar que en cualquier triángulo rectángulo escaleno ABC,recto en B , al trazar la bisectriz BD, luego trazar la perpendicular a AC, DE, (E en BC). Y ubicar un punto P, en EC, tal que EP = DE , entonces la medida del ángulo BPA es 45°.

[Pie]

Hay una interesante relación cuando juegas con los triángulos rectángulos, sus bisectrices y las perpendiculares aquí un caso:
Demostrar que en cualquier triángulo rectángulo escaleno ABC,recto en B , al trazar la bisectriz BD, luego trazar la perpendicular a AC, DE, (E en BC). Y ubicar un punto P, en EC, tal que EP = DE , entonces la medida del ángulo BPA es 45°.

No será \( DP = DE \)? Tal y como está ese ángulo puede valer cualquier cosa (entiendo que \( D \) está en \( AC \), el dibujo no es que ayude mucho ya que no coinciden las letras con las del enunciado..)

Añadido: Dejo una forma en caso de que sea lo que decía..

Spoiler

Los triángulos \( \triangle{BAC} \) y \( \triangle{DEC} \) son semejantes por ser ambos rectos y compartir el ángulo en \( \hat{C} \), de donde \( \angle CAB = \angle DEC =\angle EPD \) (por ser \( \triangle{EDP} \) isósceles), y como \( BD \) es bisectriz del ángulo en \( \hat{B} \), se tiene la congruencia \( \triangle{ABD} \equiv \triangle{PBD} \), por tanto \( \triangle{ABP} \) es isósceles y asi \( \angle BPA = 45^o \)

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Saludos.

[Alfonbraking]

Nop, los datos estan bien y siempre el ángulo es el mismo, ya lo comprobe en geogebra, pero esos 2 lados siempre son iguales por el cuadrilatero ciclico, y además se forma un triángulo de 45° al trazar las diagonales.

[ani_pascual]

Hola:

Hay una interesante relación cuando juegas con los triángulos rectángulos, sus bisectrices y las perpendiculares aquí un caso:
Demostrar que en cualquier triángulo rectángulo escaleno ABC,recto en B , al trazar la bisectriz BD, luego trazar la perpendicular a AC, DE, (E en BC). Y ubicar un punto P, en EC, tal que EP = DE , entonces la medida del ángulo BPA es 45°.

A ver si atino... 

Spoiler

El cuadrilátero \( \triangle{BADE} \) es inscriptible, ya que \( \angle{ADE}=90^{\circ}=\angle{ABE} \); el segmento que une su centro \( O \) con el punto \( P \) es mediatriz del segmento \( DE \). Llamando \( \alpha=\angle{BAC} \) se tiene que \( \angle{ACB}=90^{\circ}-\alpha\Longrightarrow \angle{DEP}=\angle{EDP}=\alpha\Longrightarrow DP=PC=EP \). Por otra parte, se tiene que \( \angle{DEB}=180^{\circ}-\alpha,\angle{DBE}=45^{\circ} \) luego \( \angle{BAE}=\angle{BDE}=\alpha-45^{\circ} \) de donde \( \angle{EAD}=45^{\circ} \). Así, \( \angle{CBD}=\angle{ABD}=\angle{EAD}=45^{\circ} \)  y finalmente, como el segmento \( AP \) es un diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo \( \triangle{ABP} \) ya que \( \angle{ABP}=90^{\circ} \) se decuce que \( \boxed{\angle{APB}=45^{\circ}} \)
Algo no me cuadra. Creo que no está probado. Seguiré pensándolo ... 

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Saludos

[Pie]

Yo insisto en que tal y como está ese ángulo no está definido. Puede moverse el vértice \( B \) para ver que solo es de \( 45^o \) para un triángulo rectángulo en concreto (el de \( 30^o \), \( 60^o \), que es el que hace que \( \triangle{DEP} \) sea equilátero, lo cual cuadra con lo que dije en mi mensaje anterior )


Si es que no interpreté mal algún dato, etc..

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Yo insisto en que tal y como está ese ángulo no está definido. Puede moverse el vértice \( B \) para ver que solo es de \( 45^o \) para un triángulo rectángulo en concreto (el de \( 30^o \), \( 60^o \), que es el que hace que \( \triangle{DEP} \) sea equilátero, lo cual cuadra con lo que dije en mi mensaje anterior )
...

Estoy de acuerdo. También a mí me parece que la propiedad, con los datos del enunciado, no se cumple. Adjunto un triángulo rectángulo arbitrario con los datos del ejercicio, hecho con Geogebra y se comprueba que el ángulo \( \angle{BPA}=47,53^{\circ}\neq 45^{\circ} \) 

Spoiler

Saludos

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