Demuestre usando inducción que \( L_n^2-L_{n-1}L_{n+1}=5(-1)^n \) para todo \( n\in \mathbb{N}. \)
Para \( n = 1 \):
\[ 1^2 - 2\cdot{}3 = -5 = 5(-1)^1 \checkmark \]
Suponiendo que se cumple para algún \( n \), demostramos que se cumple para \( n + 1 \):
\[ (L_n^2 - L_{n-1} \cdot L_{n+1}) \cdot{}\frac{L_{n+1}^2 - L_n \cdot L_{n+2}}{L_n^2 - L_{n-1} \cdot L_{n+1}}= 5(-1)^n \cdot
\frac{L_{n+1}^2 - L_n \cdot L_{n+2}}{L_n^2 - L_{n-1} \cdot L_{n+1}} = \]
\[ 5(-1)^n \cdot
\frac{L_{n+1}^2 - L_n \cdot (L_{n}+L_{n+1})} {L_n^2 - L_{n-1} \cdot (L_{n-1}+L_n) }= \]
\[ 5(-1)^n \cdot
\frac{(L_{n-1} +L_{n})^2 - L_n \cdot (L_{n}+L_{n-1}+L_n)} {L_n^2 - L_{n-1} \cdot (L_{n-1}+L_n) }= \]
\[ 5(-1)^n \cdot
\frac{L_{n-1}^2+L_{n-1}\cdot{L_n} - L_n^2} {L_n^2 - L_{n-1}^2-L_{n-1} \cdot L_n}= \]
\[ 5(-1)^n \cdot (-1) \cdot{}
\frac{\cancel{L_{n-1}^2+L_{n-1}\cdot{L_n} - L_n^2}}{\cancel{L_{n-1}^2+L_{n-1}\cdot{L_n} - L_n^2}}= \]
\[ 5(-1)^n \cdot{(-1)} = 5(-1)^{n + 1} \checkmark
\]
Saludos.
