[athairdos]

Hola, tengo algunas dudas en relación a la estructura de un anillo cociente.

Usare como referencia el anillo cociente \( R[x]/(x^{2}+1) \).

Asumiendo que las clases de resto del anillo cociente están dadas por polinomios de grado 1, entonces una de mis dudas es acerca de la multiplicación de clases de resto.

Básicamente , sería: el producto de polinomios, cada uno de los cuales define una clase de resto, se puede expresar como una suma de un polinomio perteneciente al ideal , más un polinomio lineal, de manera que el producto de clases resulte en otra clase dada por un polinomio lineal?

Dado que para un homomorfismo se tiene que la imagen de un polinomio del ideal es \( pH=0´ \), la clase de resto cero, si el producto de dos polinomios lineales se puede expresar como suma de un polinomio lineal r y un polinomio del ideal, p, entonces seria posible escribir \( (a\cdot{b})H=(p+r)H=pH+rH=0´+r´ \)?

Considerando que \( (a\cdot{b})H=(aH)\cdot{(bH)}=a´\cdot{b´} \) entonces, por lo anterior, se tendría que \( a´\cdot{b´}=r´ \) (el producto de dos clases es igual a otra clase) (?)

[Masacroso]

Sí, el producto de dos clases es otra clase, y un representante de la clase producto viene dado por el producto de cualquier par de representantes de las clases originales.

A mí para trabajar con clases de equivalencia me resulta más cómodo y claro (especialmente a la hora de plantear demostraciones) usar el mapa cociente para indicar una clase: sea \( R \) un anillo e \( I\subset R \) un ideal, entonces el mapa cociente viene dado por \( q:R\to R/I,\, a\mapsto a+I \). Entonces se puede demostrar que \( q \) es un homomorfismo sobreyectivo entre anillos y por tanto, efectivamente, tienes que \( q(a)\cdot q(b)=q(a\cdot b) \) para cualesquiera \( a,b\in R \). Si quieres puedes tomar como ejemplo que \( a \) y \( b \) sean polinomios del anillo \( \mathbb{F}[X] \) (el anillo de polinomios sobre un cuerpo \( \mathbb{F} \)).

Y claro, si resulta que \( a\cdot b=c+d \) entonces, efectivamente, se tiene que \( q(a)\cdot q(b)=q(a\cdot b)=q(c+d)=q(c)+q(d) \).

[athairdos]

Gracias! mi pregunta apuntaba a, por decirlo de algún modo, si \( a\cdot{b}=p+r \) es un caso (una igualdad, aquí) NO especial, sino más bien una propiedad común a cualquier anillo. O a si, dado un número cualquiera, el mismo se puede expresar como producto de dos números y al mismo tiempo como suma de otros dos números (distintos a los anteriores). Esta cuestión, y la de cómo actúa el homomorfismo asociado, eran el foco de la pregunta (algunos aspectos tienen que ver con la notación).

Se trata de una situación similar a \( 3\cdot{7}=21 \), con \( 21=1_{mod2} \), \( 3=1_{mod2} \) y \( 7=1_{mod 2} \)

\( 3H=1´ \).  \(  7H=1´ \),       \( (3\cdot{7})H=21H=1´ \) y  \( 1_{mod2}\cdot{1_{mod2}}=1_{mod2}=1´ \), de modo que:

\( (3\cdot{7})H=21H=1_{mod2}=(3H)(7H)=(1_{mod2}\cdot{1_{mod2}})=1_{mod2} \)

Luego, haciendo\( 21=20+1 \) y \( (20+1)H=20H+1H=0_{mod2}+1_{mod2} \)

La multiplicación de los factores 3 y 7:\( (3\cdot{7}) \) se escribe luego como 20+1, con el 20 perteneciendo al ideal \( (2) \).(*)

En el presente ejemplo, la "descomposición" de 21 como 21=20+1, con el 20 perteneciendo al ideal (2), implica que 20 es múltiplo de 2 (de la definición de ideal); esto implica que para el homomorfismo H se tiene \( 20H=0_{mod 2}=0´ \). El homomorfismo lleva los múltiplos de 2, a la clase 0, es decir, 0´.




En el anillo cociente \( R[x]/(x^{2}+1) \) la multiplicación de clases conduce a polinomios de grado 2; si estos polinomios se expresan como suma de un polinomio del ideal \( (x^{2}+1) \) y otro polinomio lineal; a partir de acá, se tiene que la multiplicación de dos clases resulta en otra clase (el anillo cociente es cerrado para la multiplicación).

Para eso, se usa el hecho de que el polinomio \( x^{2}+1=0 \).(debería ser \( (x^{2}+1)H=0 \) ?)

Al reemplazar por 0 al polinomio de grado 2 perteneciente al ideal \( (x^{2}+1) \) en la "descomposición" anterior, se obtiene una clase de resto dada por un polinomio de grado 1; esto seria equivalente a decir que \( (p_{grado 2}+r_{grado 1})H=(p_{grado 2})H+(r_{grado 1})H=0+r_{grado 1} \)?  el Homomorfismo actúa a través de su acción (igualación a 0) sobre los polinomios de grado 2?

En tal caso, el 0 ordinario está en correspondencia con la clase cero (es decir, el IDEAL).


Hay en la notación anterior algo que eventualmente se presta a la confusión; el (mal) uso del signo = en expresiones como \( 3=1_{mod2} \)(en azul mas arriba) se confunde con \( 3H=1_{mod2} \).
 
Análogamente, en el uso de \( x^{2}+1=0 \) en vez de \( (x^{2}+1)H=0 \) (?).

[Masacroso]

Al reemplazar por 0 al polinomio de grado 2 perteneciente al ideal \( (x^{2}+1) \) en la "descomposición" anterior, se obtiene una clase de resto dada por un polinomio de grado 1; esto seria equivalente a decir que \( (p_{grado 2}+r_{grado 1})H=(p_{grado 2})H+(r_{grado 1})H=0+r_{grado 1} \)?  el Homomorfismo actúa a través de su acción (igualación a 0) sobre los polinomios de grado 2?

En tal caso, el 0 ordinario está en correspondencia con la clase cero (es decir, el IDEAL).

Tienes cierta confusión en el significado de anillo cociente (el cual es cerrado por el producto porque es un anillo). Un elemento de \( R[x]/(x^2+1) \) no es un polinomio sino un conjunto de polinomios. Dicho de otro modo: en \( R[x]/(x^2+1) \) no hay polinomios, así no se "sustituye \( x^2+1 \) por cero". Las descomposiciones anteriores están mal (o mejor dicho, carecen de sentido) precisamente porque estás tratando a clases de equivalencia (que son conjuntos) como si fuesen números o polinomios.

A cualquier elemento de una clase de equivalencia se la denomina representante (de la clase), y efectivamente cada clase de equivalencia en \( R[x]/(x^2+1) \) tiene un representante de grado menor a dos.

Siguiendo lo que creo que intentas decir: no todas las clases de equivalencia con un polinomio de grado dos como representante son la clase de equivalencia del cero, lo que ocurre es que cada clase de equivalencia tiene un representante de grado menor que dos, por ejemplo tienes que

\[
q(x^2-1)=q(x^2-1-(x^2+1))=q(-2)
\]

Es decir, la clase de equivalencia \( q(x^2-1) \) no es la clase de equivalencia del cero, ya que uno de sus representantes es \( -2 \). No sé si esto aclara tus dudas.

[athairdos]

Gracias; la respuesta aclara algunas de las dudas.

Entonces, cada múltiplo del generador de \( <I> \) tiene un representante de la clase, para cada \( a \) en \( \{a: a\rightarrow{a + <I>} \} \) por el mapa cociente\(  \), por ejemplo: para \( (x^{2}-1) \) en \( (x^{2}-1)+<(x^{2}+1)> \) los siguientes polinomios son algunos representantes: \( x^{2}-1, -2, 2x^{2} \).

Repasando el tema, creo que lo de la igualación a 0 posiblemente surgía en el contexto de la propiedad de un ideal, de que para cualquier elemento p del anillo, el producto de p por un elemento del ideal, debe estar contenido en el ideal; voy a ver si puedo aclarar un poco esto antes de repasar las dudas aqui.

[Masacroso]

Gracias; la respuesta aclara algunas de las dudas.

Entonces, cada múltiplo del generador de \( <I> \) tiene un representante de la clase, para cada \( a \) en \( \{a: a\rightarrow{a + <I>} \} \) por el mapa cociente\(  \), por ejemplo: para \( (x^{2}-1) \) en \( (x^{2}-1)+<(x^{2}+1)> \) los siguientes polinomios son algunos representantes: \( x^{2}-1, -2, 2x^{2} \).

No es así, no del todo. Cada múltiplo de \( x^2+1 \) es uno de los elementos que constituyen el ideal, pero no tienen un representante asociado a él, los representantes no tienen una asociación concreta con elementos del ideal ni nada semejante. Me refiero a que aunque \( q(-2)=q(2x^2)=q(x^2-1) \) a priori ninguno de los polinomios \( -2, 2x^2 \) o \( x^2-1 \) tiene relación alguna con el ideal generado por \( x^2+1 \), lo único que tienen en común los representantes de una clase es que si \( p \) y \( q \) son ambos representantes de una misma clase, entonces \( p-q \) es un polinomio del ideal, en el ejemplo sería un múltiplo de \( x^2+1 \).

Repasando el tema, creo que lo de la igualación a 0 posiblemente surgía en el contexto de la propiedad de un ideal, de que para cualquier elemento p del anillo, el producto de p por un elemento del ideal, debe estar contenido en el ideal; voy a ver si puedo aclarar un poco esto antes de repasar las dudas aqui.

Sí, efectivamente, el ideal es la clase del cero en el anillo cociente, y representa el cero de tal anillo. Pero no hay que sustituir nada ahí, simplemente que cualquier polinomio del ideal es un representante de la clase del cero, y por tanto al ser parte del ideal si multiplicas un representante del cero por cualquier otro polinomio obtienes un nuevo representante del cero. Es la multiplicación por cero en el anillo cociente.

[athairdos]

Gracias! Creo que no me expresé del todo claramente ; sobre la primera cuestión, quise decir que cada multiplo del generador (que resulta en un elemento del ideal) tiene (o se corresponde con) un representante (aquí me refiero a un representante de una clase dada; en el ejemplo, se trataría de un representante de la clase determinada por el elemento \( x^{2}-1 \))). Esto ocurre a través de la composición del multiplo en cuestión, con el elemento que define la clase (aquí \( x^{2}-1 \).


Sobre la segunda cuestión, y dicho sin rigor matemático, pienso que se podría tratar de que en la multiplicación de clases, puede aparecer en el resultado del producto un polinomio que pertenece al ideal y este queda absorbido por el mismo (el ideal); se transforma en el cero en el cociente( ó dentro del cociente o para el mapa cociente: el mapa lleva una parte del resultado del producto al ideal y lo aplica al cero; resultando, la clase dada por-definida por el producto de clases-el resultado de su multiplicación-el multiplo, una clase correspondiente a la parte del producto de elementos-cada uno de los cuales define las clases iniciales, que no pertenece al ideal, ó que no es absorbida por el mismo).

Ahora estoy repasando el tema de la derivación de la propiedad del ideal que mencioné antes (como una propiedad necesaria para formar el cociente, por asi decir). Para esto, al menos por ahora, me ayudo usando las congruencias-y las clases de congruencias (*) en un anillo \( Z/nZ \). Cuando avance un poco más en esto último espero aclarar más algunas dudas adicionales asi que agregaré las que surjan, a este mensaje.

(*) El producto de clases de congruencias.