¡Hola a todos! ¿Podrían ayudarme con este ejercicio?
Antes de definir la medida de Lebesgue, se ha introducido el concepto de volumen de un conjunto abierto en \[\mathbb{R}^n\] de la siguiente manera:
Sea \[U \subset \mathbb{R}^n\] un conjunto abierto. Entonces, existe una familia \[\{B_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{F}\], donde \[\mathcal{F}\] es la familia de bloques \[n\]-dimensionales del tipo
\[
B = \prod_{i=1}^{n} (a_i, b_i],
\]
tal que los bloques \[B_k\] son disjuntos dos a dos y
\[
U = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} B_k.
\]
Definimos el volumen de \[U\] como
\[
\text{vol}(U) = \sum_{k=1}^{\infty} \text{vol}(B_k).
\]
Estaba intentando demostrar una propiedad básica con esta definición, pero encontré una dificultad. El objetivo es probar que si \[U, V \subset \mathbb{R}^n\] son abiertos, entonces se cumple la siguiente identidad:
\[
\text{vol}(U \cup V) + \text{vol}(U \cap V) = \text{vol}(U) + \text{vol}(V).
\]
Mi idea fue la siguiente: como \[U\] y \[V\] son abiertos, existen familias de bloques \[\{B_k\} \subset \mathcal{F}\] y \[\{C_j\} \subset \mathcal{F}\], disjuntas dos a dos dentro de cada familia, tales que
\[
U = \bigcup_{k=1}^{\infty} B_k, \quad \text{y} \quad V = \bigcup_{j=1}^{\infty} C_j,
\]
con
\[
\text{vol}(U) = \sum_{k=1}^{\infty} \text{vol}(B_k), \quad \text{vol}(V) = \sum_{j=1}^{\infty} \text{vol}(C_j).
\]
Sé que \[U \cup V\] y \[U \cap V\] también son abiertos, por lo que admiten representaciones como uniones disjuntas de bloques en \[\mathcal{F}\]. Sin embargo, la dificultad surge al intentar expresar \[U \cup V\] como la unión disjunta de \( U \setminus V \), \( V \setminus U \), y \( U \cap V \), ya que no puedo asegurar que los conjuntos \[U \setminus V\] y \[V \setminus U\] sean abiertos, lo cual complica construir familias disjuntas adecuadas para el análisis.
