[Eparoh]

Hola a todos.

Últimamente he estado "investigando" la relación entre el axioma de elección y los teoremas clásicos del análisis funcional (tal vez en algún momento escriba un texto recopilando los resultados, porque me parece muy interesante ). Durante este camino tenía la duda de si el principio de acotación uniforme implica el teorema de la aplicación abierta en ZF y como no encontraba por ningún lado ni una demostración, ni una refutación ni un comentario sobre si estaba abierto decidí preguntarlo por aquí.

Al parecer es una cuestión abierta, pero sí me resulta muy interesante la respuesta que obtuve, pues da una demostración del teorema de la gráfica cerrada (que es equivalente en ZF al teorema de la aplicación abierta) utilizando únicamente el axioma de elección numerable cuando las demostraciones que había encontrado hasta ahora utilizaban todas el axioma de elecciones dependientes. La idea consiste en observar que si el resultado es cierto para espacios de Banach separables, entonces se puede deducir, utilizando únicamente el axioma de elección numerable, que debe ser cierto para todo par de espacios de Banach. Por tanto, bastaría ver que es posible demostrar en ZF (o en ZF + AEN) el teorema de la gráfica cerrada para espacios de Banach separables. Aquí viene mi duda.

En el enlace que puse establece que por el teorema de Shoenfield se deduce que esta versión del teorema de la gráfica cerrada para espacios de Banach separables es demostrable en ZF, pero no llego a entender bien este teorema y como se aplicaría en este caso en particular. He buscado en varios sitios el resultado, pero no llego a ver claro el enunciado ni la jerarquía que se utiliza para las fórmulas/conjuntos en algunas versiones que he visto.

Por si ayuda en la respuesta, lo que "medio entiendo" es lo siguiente:

El teorema de Shoenfield permite establecer que cierto tipo de fórmulas son absolutas (o al menos absolutas hacia arriba) para \( L \) el modelo constructible. Entonces, si \( \phi \) es una sentencia de este tipo demostrable en ZFC, como se prueba en ZF que \( L \) es un modelo de ZFC, tenemos que su relativización \( \phi^L \) será demostrable en ZF. Ahora bien, como hemos dicho que \( \phi \) es absoluta hacia arriba para \( L \), tenemos que en ZF se prueba que \( \phi^L \rightarrow \phi \) y juntando ambas cosas obtenemos que \( \phi \) es demostrable en ZF.

Además, las versiones que he consultado (aunque no entendido del todo) son las siguientes:

• La sección 6.4 del libro de teoría descriptiva de Carlos Ivorra.
• Este link de Wikipedia.
• El Corolario IV.4.9 (página 430) del libro Classical recursion theory I de Odifreddi.
  
  Spoiler

  
  

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  Esta versión parece la más cercana a lo que busco, pero no me queda claro que es una sentencia aritmética de segundo orden de tipo \( \Sigma_3^1 \) ni porqué el teorema de la gráfica cerrada para espacios de Banach separables es de este tipo.

Ya de paso, pongo lo que entiendo sobre la demostración dada en la imagen en el spoiler para confirmar si lo he entendido bien (suponiendo como cajas negras lo que es una fórmula \( \Pi_2^1 \) y que estas son absolutas).

Si \( \phi \) es demostrable en ZF + \( V=L \), como en ZF se prueba que \( L \) es un modelo de esta teoría tenemos que en ZF se prueba \( \phi^L \) (1). Por otra parte, por ser \( \phi \) de tipo \( \Sigma_3^1 \) es equivalente, en ZF, a una fórmula de la forma \( \exists x \psi \) con \( \psi \) una fórmula de tipo \( \Pi_2^1 \). Nuevamente, esto se prueba en ZF, luego en ZF + \( V=L \), y como antes se tiene que entonces la fórmula \( \phi^L \leftrightarrow \exists x \in L\, \psi^L \) (2) es un teorema de ZF. Por otro lado, como \( \psi \) es de tipo \( \Pi_2^1 \) y estas fórmulas son absolutas para \( L \) se tiene que en ZF se prueba que \( \psi \leftrightarrow \psi^L \), con lo que en particular se prueba que \( \exists x \psi \leftrightarrow \exists x \psi^L \) (3). Juntando (1) y (2) obtenemos que en ZF se prueba que \( \exists x \in L\, \psi^L \), lo que implica en particular que \( \exists x \psi^L \) y de (3) se obtiene que \( \exists x \psi \), que sabemos que es equivalente en ZF a \( \phi \).

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

[Carlos Ivorra]

Esta versión parece la más cercana a lo que busco, pero no me queda claro que es una sentencia aritmética de segundo orden de tipo \( \Sigma_3^1 \) ni porqué el teorema de la gráfica cerrada para espacios de Banach separables es de este tipo.

Es una sentencia de la forma \( \exists x\forall y\exists z\phi(x, y, z) \), donde \( x, y, z \) recorren el conjunto \( \mathcal N \) de todas las funciones \( \omega\longrightarrow \omega \) y \( \phi \) es una fórmula en la que, además de \( x,y,z \) sólo aparecen variables ligadas que recorren los números naturales y constantes que nombran funciones concretas \( \omega^n\longrightarrow \omega \) (entre ellas la suma y el producto de números naturales). (No ganamos en generalidad si permitimos que \( x, y, z \) sean funciones de varias variables en lugar de una sola.)

Ahora bien, no sé cómo expresar el teorema de la gráfica cerrada mediante una fórmula aritmética de este tipo. En realidad nunca he visto nada sobre espacios de Banach en teoría descriptiva de conjuntos.

Me queda la duda de si el teorema de Shoenfield al que te han hecho referencia es éste o más bien el teorema 3.56 de mi libro de Pruebas de consistencia (para \( a=\emptyset \)). Dándole la vuelta, dice que si se cumple en L una sentencia de la forma \( \forall x\phi(x) \), donde \( \phi \) es de tipo \( \Delta_0 \), es decir, que tiene cuantificadores acotados en la forma \( \forall u\in v \) o \( \exists u\in v \), entonces se cumple en \( V \).

Esto me parecería más plausible si no fuera porque entonces no veo en qué puede hacer falta la separabilidad de los espacios de Banach, pero, por otra parte, no me cabe duda de que el teorema de la gráfica cerrada para espacios de Banach arbitrarios no es demostrable en ZF, luego la separabilidad tiene que hacer falta de una forma u otra.

No sabría decirte más.

[Eparoh]

Hola Carlos.

Gracias por la respuesta.

Es una sentencia de la forma \( \exists x\forall y\exists z\phi(x, y, z) \), donde \( x, y, z \) recorren el conjunto \( \mathcal N \) de todas las funciones \( \omega\longrightarrow \omega \) y \( \phi \) es una fórmula en la que, además de \( x,y,z \) sólo aparecen variables ligadas que recorren los números naturales y constantes que nombran funciones concretas \( \omega^n\longrightarrow \omega \) (entre ellas la suma y el producto de números naturales). (No ganamos en generalidad si permitimos que \( x, y, z \) sean funciones de varias variables en lugar de una sola.)

¿Qué quieres decir con "constantes que nombran funciones concretas"?

Ahora bien, no sé cómo expresar el teorema de la gráfica cerrada mediante una fórmula aritmética de este tipo. En realidad nunca he visto nada sobre espacios de Banach en teoría descriptiva de conjuntos.

Yo tampoco lo veo nada claro en base a la definición que me has dado. Yo sí he trabajado un poco sobre teoría descriptiva en análisis funcional, pero las ideas que yo he visto siempre han sido del estilo de codificar los espacios de Banach separables como puntos de ciertos espacios polacos para estudiar la complejidad de ciertas clases de espacios de Banach, pero claro, en este caso todos los espacios de Banach cumple el teorema de la gráfica cerrada, con lo que lo que sé no tiene mucho sentido aquí.

He pedido más detalles en la respuesta que me dieron en MathOverflow. A mi no me dice demasiado la respuesta, pero igual a ti que sabes mucho más del tema si te ilumina algo.

Me queda la duda de si el teorema de Shoenfield al que te han hecho referencia es éste o más bien el teorema 3.56 de mi libro de Pruebas de consistencia (para \( a=\emptyset \)). Dándole la vuelta, dice que si se cumple en L una sentencia de la forma \( \forall x\phi(x) \), donde \( \phi \) es de tipo \( \Delta_0 \), es decir, que tiene cuantificadores acotados en la forma \( \forall u\in v \) o \( \exists u\in v \), entonces se cumple en \( V \).

Esto me parecería más plausible si no fuera porque entonces no veo en qué puede hacer falta la separabilidad de los espacios de Banach, pero, por otra parte, no me cabe duda de que el teorema de la gráfica cerrada para espacios de Banach arbitrarios no es demostrable en ZF, luego la separabilidad tiene que hacer falta de una forma u otra.

No sabría decirte más.

En efecto, el teorema de la gráfica cerrada no es demostrable en ZF porque implica una versión débil del axioma de elección numerable.

Por cierto, ya que estoy aprovecho para ver si he aprendido un poquito más sobre todos estos temas de lógica y teoría de conjuntos. ¿Es correcta la prueba que puse? ¿La entendí bien?

Ya de paso, pongo lo que entiendo sobre la demostración dada en la imagen en el spoiler para confirmar si lo he entendido bien (suponiendo como cajas negras lo que es una fórmula \( \Pi_2^1 \) y que estas son absolutas).

Si \( \phi \) es demostrable en ZF + \( V=L \), como en ZF se prueba que \( L \) es un modelo de esta teoría tenemos que en ZF se prueba \( \phi^L \) (1). Por otra parte, por ser \( \phi \) de tipo \( \Sigma_3^1 \) es equivalente, en ZF, a una fórmula de la forma \( \exists x \psi \) con \( \psi \) una fórmula de tipo \( \Pi_2^1 \). Nuevamente, esto se prueba en ZF, luego en ZF + \( V=L \), y como antes se tiene que entonces la fórmula \( \phi^L \leftrightarrow \exists x \in L\, \psi^L \) (2) es un teorema de ZF. Por otro lado, como \( \psi \) es de tipo \( \Pi_2^1 \) y estas fórmulas son absolutas para \( L \) se tiene que en ZF se prueba que \( \psi \leftrightarrow \psi^L \), con lo que en particular se prueba que \( \exists x \psi \leftrightarrow \exists x \psi^L \) (3). Juntando (1) y (2) obtenemos que en ZF se prueba que \( \exists x \in L\, \psi^L \), lo que implica en particular que \( \exists x \psi^L \) y de (3) se obtiene que \( \exists x \psi \), que sabemos que es equivalente en ZF a \( \phi \).

Un saludo.

EDITO:

Aunque me gustaría entender como se utiliza este teorema de Shoenfield para asegurar "de un plumazo" que con la demostración en ZFC nos basta para obtener una demostración en ZF, creo que he obtenido una demostración en ZF del teorema de la aplicación abierta para espacios de Banach separables y este implica, también en ZF, el teorema de la gráfica cerrada para espacios de Banach separables.

La idea es seguir esta prueba, donde el primer paso, ver que \( \overline{T(B)} \) contiene un entorno de cero se prueba en ZF sin problema y, para el segundo paso, definimos la sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^\infty \) de forma recursiva utilizando que existe un subconjunto denso numerable \( \{z_n\}_{n=1}^\infty \) de \( X \) y definiendo

\(
\begin{align*}
 n_1 & = \min \left\{n \in \mathbb{N}: ||z_n|| < \frac{1}{4} \wedge ||y-T(z_n)|| < \frac{\delta}{4} \right\} \\
 n_{k+1} & = \min \left\{n \in \mathbb{N}: ||z_n|| < \frac{1}{2^{k+1}} \wedge \left\|{y- \sum_{i=1}^k T(z_{n_i}) - T(z_n)}\right\| < \frac{\delta}{2^{k+1}} \right\}
\end{align*}
 \)

La demostración de que una versión del teorema de la aplicación abierta para espacios de Banach separables implica la versión del teorema de la gráfica cerrada para espacios de Banach separables es una copia de alguna de las usuales (por ejemplo, esta).

¿Cómo lo ves?

[Carlos Ivorra]

¿Qué quieres decir con "constantes que nombran funciones concretas"?

Estaba siguiendo la definición del libro de Odifredi, que no coincide con la que uso yo en mis libros. Considera un lenguaje forma, con infinitas constantes (una cantidad no numerable), que se interpretan como las funciones \( \omega^n\longrightarrow \omega \), de modo que en una sentencia puedes hacer referencia a cualquier función en concreto que quieras (a través de la constante que la nombra), pero no cuantificar sobre ellas. Las cuantificaciones sobre funciones determinan la complejidad de la fórmula.

Yo tampoco lo veo nada claro en base a la definición que me has dado. Yo sí he trabajado un poco sobre teoría descriptiva en análisis funcional, pero las ideas que yo he visto siempre han sido del estilo de codificar los espacios de Banach separables como puntos de ciertos espacios polacos para estudiar la complejidad de ciertas clases de espacios de Banach, pero claro, en este caso todos los espacios de Banach cumple el teorema de la gráfica cerrada, con lo que lo que sé no tiene mucho sentido aquí.

He pedido más detalles en la respuesta que me dieron en MathOverflow. A mi no me dice demasiado la respuesta, pero igual a ti que sabes mucho más del tema si te ilumina algo.

Pues, decididamente, está considerando la versión aritmética del teorema de Shoenfield, y codifica cosas no sé cómo (como te decía, nunca he visto nada sobre codificar espacios de Banach). Según dice, codifica un subcuerpo (numerable) de \( \mathbb R \), un subespacio normado, etc., todo con elementos del cubo de Cantor \( 2^\omega \), es decir, mediante funciones \( f:\omega\longrightarrow 2 \), lo que, de algún modo, le permite expresar el teorema de la gráfica cerrada en términos de elementos de \( 2^\omega \), es decir, mediante una sentencia aritmética de segundo orden. Ahora, no me preguntes por los detalles, porque no tengo ni idea de a qué codificaciones se refiere.

Por cierto, ya que estoy aprovecho para ver si he aprendido un poquito más sobre todos estos temas de lógica y teoría de conjuntos. ¿Es correcta la prueba que puse? ¿La entendí bien?

Ya de paso, pongo lo que entiendo sobre la demostración dada en la imagen en el spoiler para confirmar si lo he entendido bien (suponiendo como cajas negras lo que es una fórmula \( \Pi_2^1 \) y que estas son absolutas).

Si \( \phi \) es demostrable en ZF + \( V=L \), como en ZF se prueba que \( L \) es un modelo de esta teoría tenemos que en ZF se prueba \( \phi^L \) (1). Por otra parte, por ser \( \phi \) de tipo \( \Sigma_3^1 \) es equivalente, en ZF, a una fórmula de la forma \( \exists x \psi \) con \( \psi \) una fórmula de tipo \( \Pi_2^1 \). Nuevamente, esto se prueba en ZF, luego en ZF + \( V=L \), y como antes se tiene que entonces la fórmula \( \phi^L \leftrightarrow \exists x \in L\, \psi^L \) (2) es un teorema de ZF. Por otro lado, como \( \psi \) es de tipo \( \Pi_2^1 \) y estas fórmulas son absolutas para \( L \) se tiene que en ZF se prueba que \( \psi \leftrightarrow \psi^L \), con lo que en particular se prueba que \( \exists x \psi \leftrightarrow \exists x \psi^L \) (3). Juntando (1) y (2) obtenemos que en ZF se prueba que \( \exists x \in L\, \psi^L \), lo que implica en particular que \( \exists x \psi^L \) y de (3) se obtiene que \( \exists x \psi \), que sabemos que es equivalente en ZF a \( \phi \).

Sí. Tal vez habría que precisar ese \( \exists x \), por ejemplo como \( \exists x\in (2^\omega)^L \), o algo así, pero eso dependerá de cómo haya que entender la codificación.

Aunque me gustaría entender como se utiliza este teorema de Shoenfield para asegurar "de un plumazo" que con la demostración en ZFC nos basta para obtener una demostración en ZF, creo que he obtenido una demostración en ZF del teorema de la aplicación abierta para espacios de Banach separables y este implica, también en ZF, el teorema de la gráfica cerrada para espacios de Banach separables.

La idea es seguir esta prueba, donde el primer paso, ver que \( \overline{T(B)} \) contiene un entorno de cero se prueba en ZF sin problema y, para el segundo paso, definimos la sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^\infty \) de forma recursiva utilizando que existe un subconjunto denso numerable \( \{z_n\}_{n=1}^\infty \) de \( X \) y definiendo

\(
\begin{align*}
 n_1 & = \min \left\{n \in \mathbb{N}: ||z_n|| < \frac{1}{4} \wedge ||y-T(z_n)|| < \frac{\delta}{4} \right\} \\
 n_{k+1} & = \min \left\{n \in \mathbb{N}: ||z_n|| < \frac{1}{2^{k+1}} \wedge \left\|{y- \sum_{i=1}^k T(z_{n_i}) - T(z_n)}\right\| < \frac{\delta}{2^{k+1}} \right\}
\end{align*}
 \)

La demostración de que una versión del teorema de la aplicación abierta para espacios de Banach separables implica la versión del teorema de la gráfica cerrada para espacios de Banach separables es una copia de alguna de las usuales (por ejemplo, esta).

¿Cómo lo ves?

Diría que bien, en el sentido de que no veo ningún paso que pueda ocultar un uso del axioma de elección, pero no tengo muy frescas las demostraciones y, desde luego, nunca las he estudiado chequeando si se hacen o no elecciones arbitrarias.

[Eparoh]

Hola Carlos.

Pues nos quedaremos con la duda de momento  Muchas gracias por la ayuda igualmente.

De todas formas, he encontrado un error en la prueba que se da en la respuesta de MathOverflow, al pasar del caso separable al no separable. Al no ser la aplicación \( T \) continua, no puedes asegurar que \( T(X') \) sea separable aunque \( X' \) lo sea.

Un saludo.

[Eparoh]

Hola de nuevo.

Parece que tras comentarle el fallo en el argumento sobre la separabilidad ha establecido y probado un nuevo lema. Sigo sin entenderlo, pero parece más factible que lo anterior.

Un saludo.