[zorropardo]

Calcular: $$\int \int_{S}F.n dS$$ donde $$F(x,y,z)=(x,y,z)$$ y $$S$$ la superfície del hemisferio superior de la esfera $$x^2+y^2+z^2=9$$ dentro del cilindro $$x^2+y^2=3x,$$   orientada con normal apuntando afuera de la superfície.

Hice lo siguiente: Parametrice la superficie por: $$\varphi(x,y,z)=(x,y,\sqrt{9-x^2-y^2})$$ luego

$$\varphi_{x} \times \varphi_{y}=\Big(   \frac{x}{\sqrt{9-x^2-y^2}}, \frac{y}{\sqrt{9-x^2-y^2}},1  \Big)$$ normal apuntando para fuera de la esfera.

El cilindro es: $$(x-\frac{3}{2})^2+y^2=(\frac{3}{2})^2.$$ Luego tenemos

$$\int \int_{D_{xy}: x^2+y^2 \leq{3x}} (\frac{9}{\sqrt{9-x^2-y^2}})dS=9 \int_{-\pi}^{\pi} \int_{0}^{\cos \theta} \frac{1}{\sqrt{9-r^2}}rdrd\theta=54 \pi  .$$

Esta bien 

[Masacroso]

A mí me queda lo siguiente: como \( \mathbf{n}=\frac1{r}(x,y,z) \) para \( r:=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=3 \) entonces

\[
\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}|_S=\frac{x^2+y^2+z^2}{r}=3
\]

Por otro lado tenemos que \( dS=\mathbf{n}\,{\Large\lrcorner}\, \omega =\frac1{3}(xdydz-ydxdz+zdxdy) \) (para \( \omega :=dx\wedge dy\wedge dz \)). Si definimos \( \eta :=(\mathbf{F}\cdot \mathbf{n})dS=xdydz-ydxdz+zdxdy \), entonces tenemos que

\[
\int_{S}\eta =\int_{\varphi^{-1} (S)}\varphi^* \eta =\int_{D}\frac{9}{\sqrt{9-x^2-y^2}}dxdy,\quad \text{ donde }D:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x^2+y^2\leqslant 3x\}
\]

ya que \( \varphi ^*dz=d(\varphi ^*z)=d\varphi _3=d(\sqrt{9-x^2-y^2})=-\frac{xdx+ydy}{\sqrt{9-x^2-y^2}} \). Usando coordenadas polares nos queda

\[
\int_{S}(\mathbf{F}\cdot \mathbf{n})dS=9\int_{{\color{red}{- \pi/2}}}^{{\color{red}{\pi/2}}}\int_{0}^{3\cos \alpha }\frac{\rho d\rho d\alpha }{\sqrt{9-\rho ^2}}=9\int_{{\color{red}{-\pi/2}}}^{{\color{red}{\pi/2}}}(3-\sqrt{9-9\cos ^2 \alpha })\,d \alpha =27\left(\pi-2\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}\alpha \,d \alpha \right)=27(\pi -2)
\]

Tendría que revisar mis cálculos, pero ahora mismo no veo que haya cometido error alguno.

Añadido:

Calcular: $$\int \int_{S}F.n dS$$ donde $$F(x,y,z)=(x,y,z)$$ y $$S$$ la superfície del hemisferio superior de la esfera $$x^2+y^2+z^2=9$$ dentro del cilindro $$x^2+y^2=3x,$$   orientada con normal apuntando afuera de la superfície.

Hice lo siguiente: Parametrice la superficie por: $$\varphi(x,y,z)=(x,y,\sqrt{9-x^2-y^2})$$ luego

$$\varphi_{x} \times \varphi_{y}=\Big(   \frac{x}{\sqrt{9-x^2-y^2}}, \frac{y}{\sqrt{9-x^2-y^2}},1  \Big)$$ normal apuntando para fuera de la esfera.

El cilindro es: $$(x-\frac{3}{2})^2+y^2=(\frac{3}{2})^2.$$

Hasta aquí todo bien, pero observa que

\[
\mathbf{F}\cdot (\varphi _x \times \varphi _y)=\frac{9}{\sqrt{9-x^2-y^2}}
\]

que es lo mismo que obtengo yo. Es decir, tu error está en el paso en el que calculas \( \mathbf{F}\cdot (\varphi _x \times \varphi _y) \).

Corregido: error muy tonto, es en \( [-\pi/2,\pi/2] \) donde la función coseno es no-negativa, no en \( [0,\pi] \) como había puesto originalmente.

[zorropardo]

Hola, una pregunta el angulo para tomar el cilindro no seria en el intervalo $$[-\pi,\pi].$$

[Masacroso]

Hola, una pregunta el angulo para tomar el cilindro no seria en el intervalo $$[-\pi,\pi].$$

Sí, pero observa que \( \{(\rho ,\alpha )\in [0,\infty )\times {\color{red}{(\pi/2,3\pi/2)}}: \rho \leqslant 3\cos \alpha \}=\emptyset  \), ya que \( \rho \geqslant 0 \) pero \( 3\cos \alpha <0 \) para \( \alpha \in {\color{red}{(\pi/2,3\pi/2)}} \).

Corregido.

[ani_pascual]

Hola:

...

Esta bien 

Creo que te faltó el factor \( \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2-y^2}} \).
Así, como apunta Masacroso se llega a \( \displaystyle\int\int_D\dfrac{9}{\sqrt{9-x^2-y^2}}\,dx\,dy \) con \( D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,|\,\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+y^2=\frac{9}{4}\right\} \).
Pasando a polares  \( x=\frac{3}{2}+\rho\cos\theta, y=\rho\sin\theta \) con \( 0\leq \theta\leq 2\pi, 0\leq \rho\leq \frac{3}{2} \) llego a \( \displaystyle\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{3}{2}}\dfrac{9\rho}{\sqrt{\frac{27}{4}-\rho^2-3\rho\cos\theta}}\,d\rho\,d\theta \), y aquí me he quedado...
Añadido: 

Spoiler

Veo que me compliqué al pasar a coordenadas polares...
 Mejor así: \( x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta, 0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0\leq \rho\leq 3\cos\theta \) por lo que
\( 2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\int_0^{3\cos\theta}\dfrac{9\rho}{\sqrt{9-\rho^2}}\,d\rho\,d\theta=18\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[-\sqrt{9-\rho^2}\right]_0^{3\cos\theta}\,d\theta=18\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}3(1-\sin\theta)\,d\theta=54\left[\theta+\cos\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=54\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)=27(\pi-2) \)

[cerrar]

Saludos

[zorropardo]

Hola, es verdad tambien me confundi. El angulo debe ser:  $$[-\pi/2,\pi/2]$$ entonces quedaria asi:

$$\int \int_{D_{xy}: x^2+y^2 \leq{3x}} (\frac{9}{\sqrt{9-x^2-y^2}})dS=9 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{3 \cos \theta} \frac{1}{\sqrt{9-r^2}}rdrd\theta=27 \pi  .$$

[Masacroso]

Hola, es verdad tambien me confundi. El angulo debe ser:  $$[-\pi/2,\pi/2]$$ entonces quedaria asi:

$$\int \int_{D_{xy}: x^2+y^2 \leq{3x}} (\frac{9}{\sqrt{9-x^2-y^2}})dS=9 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{3 \cos \theta} \frac{1}{\sqrt{9-r^2}}rdrd\theta=27 \pi  .$$

Sí, pero el resultado es \( 27(\pi-2) \), no \( 27\pi \). Observa que \( \sqrt{1-\cos ^2 \theta }=|\operatorname{sen}\theta |\neq \operatorname{sen}\theta  \). Entonces, por simetría, tienes que

\[
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\operatorname{sen}\theta |\,d \theta =2\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}\theta \,d \theta =2
\]

[zorropardo]

Es verdad, muy agradecido. 

[Abdulai]

Hay algo raro (yo tal vez    )
La proyección de la superficie sobre el plano xy son \( S_{xy} = \pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \approx{7.069} \)
Mientras que \( 27(\pi-2)\approx{30.8} \)    A ojo no me parece que la relación entre la superficie y la proyección sea tan grande.

Para aclarar las ideas suelo recurrir a CADs y en base a lo que me calcula numéricamente, buscar el error, si es que lo hay.

         

Y resulta que lo que me tira es una superficie de \( 10.27 \approx 9(\pi-2) \)  sugiriendo que en alguna parte sobra un \( 3 \)

[Masacroso]

Hay algo raro (yo tal vez    )
La proyección de la superficie sobre el plano xy son \( S_{xy} = \pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \approx{7.069} \)
Mientras que \( 27(\pi-2)\approx{30.8} \)    A ojo no me parece que la relación entre la superficie y la proyección sea tan grande.

Para aclarar las ideas suelo recurrir a CADs y en base a lo que me calcula numéricamente, buscar el error, si es que lo hay.

         

Y resulta que lo que me tira es una superficie de \( 10.27 \approx 9(\pi-2) \)  sugiriendo que en alguna parte sobra un \( 3 \)

Tienes que \( \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}=3 \), por tanto tu experimento coincide con el cálculo realizado. Añadido: quiero decir que, efectivamente, se tiene que \( \int_{S}dS=9(\pi-2) \) ya que tenemos que \( \int_{S}(\mathbf{F}\cdot \mathbf{n})dS=3\int_{S}dS=27(\pi-2) \).