Hola, lei todo el documento, no todo lo comprendí, pero ahora tengo mas tiempo, la pregunta que me queda dando vuelta es , si en el ejemplo que desarrollas $$n=14$$ y $$a=1$$ que tiene dos SFNT $$3,3,2,2,...$$ y $$6,4,3,...$$ creo haber entendido que ¿ambas crean dos árboles distintos de infinitas soluciones, es decir no van a compartir ninguna rama u hoja es decir ningún resultado particular?
En efecto. Forman dos árboles de soluciones sin elementos comunes. Pero eso es muy simple de ver: todas las soluciones del árbol generado por \( (3, 3, 2, 2) \) tienen la propiedad de que si vas calculando sucesivamente sus primeras vecinas (las que se forman cambiando su primera componente) acaban en \( (3, 3, 2, 2) \), mientras que las soluciones del segundo árbol, al formar con ellas la sucesión de primeras vecinas, acaban en \( (6, 4, 3) \). Por lo tanto, ninguna puede estar en los dos árboles.
Es difícil verlo en mi caso a la primera porque me sobran 10 u 11 unos. En todo caso mientras leía me había hecho la imagen de que dos SFNT tenían que tener la misma longitud pero una tiene 20 y la otra 24.
¿A qué llamas longitud? Si te refieres a \( n \), es \( 14 \) en ambos casos. Las soluciones son:
\( (3,3,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) \) y \( (6,4,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) \)
puedes comprobar que ambas son solución de la ecuación
\( x_1^2+\cdots + x_{14}^2 = x_1\cdots x_{14} \)
Para la primera es \( 9+9+4+4+10 = 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2 \). Para la segunda es \( 36+16+9+11 = 6\cdot 4\cdot 3 \).
Ah, te referirás a la altura, que, en efecto, en la primera es 20 y en la segunda 24, pero la altura no es constante en las soluciones. Al contrario, a medida que avanzas en el árbol de soluciones generado por una SF (incluso si es la trivial) la altura aumenta estrictamente de un paso al siguiente.
Al momento de hacer mi primer programa, no tenía ni idea que era una SFNT, solo sabía por deducción que de la primer solución podía deducir más, y solo me preguntaba solo por $$a=1$$, todo lo que hice fue desarrollar nuevos resultados a partir de lo que ahora se que es una fundamental, trabajando con combinatorias de los resultados previos fui sacando las soluciones vecinas , en particular para $$n=4$$, y vi que daban resultados cada vez mayores por lo que empecé a preguntarme si la lista de combinaciones era o no finita.
Cuando pasas de una solución a una vecina que no sea la primera, la altura crece estrictamente, por lo que pasando de una a otra obtienes una sucesión (un árbol, en realidad) de infinitas soluciones distintas dos a dos.
Luego me pregunté por $$n=3$$ y $$a=1$$ y vi más de lo mismo. En sí, medir la longitud no es lo que para mi diferenciaba las distintas soluciones, pero ya intuía que podía haber diferentes familias de soluciones (árboles) ,las busqué, pero con un método al tanteo, que siempre me traía a las misma soluciones, para el caso que buscaba no lo hallé y visto ahora que hay solo 1 SNFT no lo iba a encontrar.
En efecto, el menor caso con dos SFNT es \( n = 14, a = 1 \).
