Hola a todos, agradecería alguna ayuda con este ejercicio.
Sea \[(X,d)\] un espacio métrico y sea \[\mu\] una medida finita definida sobre los conjuntos borelianos de \[X\], es decir,\[\mu : \mathcal{B}(X) \to [0,\infty)\], con \[\mu(X) < \infty\].
Decimos que un conjunto \[A \in \mathcal{B}(X)\] {verifica la propiedad de regularidad si se cumple:
\[
\mu(A) = \inf \left\{ \mu(U) : U \subset X,\ U \text{ abierto},\ A \subset U \right\}
= \sup \left\{ \mu(F) : F \subset X,\ F \text{ cerrado},\ F \subset A \right\}.
\tag{*}
\]
(a) Probar que todo conjunto cerrado \[A \subset X\] verifica la propiedad \[(*)\].
(b) Probar que el conjunto de subconjuntos de \[X\] que verifican la propiedad \[(*)\] forma una \[\sigma\]-álgebra.
(c) Deducir que todo conjunto boreliano de \[X\] verifica la propiedad \[(*)\], es decir, que \[\mu\] es una medida regular sobre \[\mathcal{B}(X)\].
De momento he trabajado en el apartado (a). Sin embargo, no estoy completamente seguro de que esté correcto, especialmente en lo que respecta a la igualdad que involucra el supremo. Tengo dudas sobre cómo justificar esa parte rigurosamente.
La primera igualdad.Para cada \[\varepsilon > 0\], definimos el conjunto:
\[
U_\varepsilon := \left\{ x \in X : \operatorname{dist}(x, A) < \varepsilon \right\}.
\]
Entonces, \[U_\varepsilon\] es abierto, y se cumple que \[A \subset U_\varepsilon\] para todo \[\varepsilon > 0\]. Además, como \[A\] es cerrado, tenemos que:
\[
\bigcap_{\varepsilon > 0} U_\varepsilon = \overline{A} = A.
\]
Dado que \[\mu\] es una medida finita, y los conjuntos \[U_\varepsilon\] forman una familia decreciente con intersección \[A\], podemos aplicar la continuidad de la medida:
\[
\lim_{\varepsilon \to 0^+} \mu(U_\varepsilon) = \mu\left( \bigcap_{\varepsilon > 0} U_\varepsilon \right) = \mu(A),
\]
lo que implica que:
\[
\inf_{\varepsilon > 0} \mu(U_\varepsilon) = \mu(A).
\]
Como cada \[U_\varepsilon\] es un conjunto abierto que contiene a \[A\], se tiene que:
\[
\inf \left\{ \mu(U) : U \text{ abierto},\ A \subset U \right\} \leq \inf_{\varepsilon > 0} \mu(U_\varepsilon) = \mu(A).
\]
Por otro lado, para cualquier conjunto abierto \[U\] que contenga a \[A\], se tiene que \[\mu(A) \leq \mu(U)\], y por lo tanto:
\[
\mu(A) \leq \inf \left\{ \mu(U) : U \text{ abierto},\ A \subset U \right\}.
\]
De ambas desigualdades concluimos que:
\[
\mu(A) = \inf \left\{ \mu(U) : U \text{ abierto},\ A \subset U \right\}.
\]
Segunda igualdad.Para cada \[\varepsilon > 0\], definimos el conjunto:
\[
F_\varepsilon := \left\{ x \in A : \operatorname{dist}(x, X \setminus A) \geq \varepsilon \right\}.
\]
El conjunto \[F_\varepsilon\] es cerrado.
Por construcción, \[F_\varepsilon \subset A\] para todo \[\varepsilon > 0\].
La familia \[\{F_\varepsilon\}_{\varepsilon > 0}\] es creciente: si \[\varepsilon_1 > \varepsilon_2\], entonces \[F_{\varepsilon_1} \subset F_{\varepsilon_2}\]. Esto se debe a que al aumentar \[\varepsilon\] , se exige mayor distancia respecto al complemento, por lo que se selecciona un subconjunto más pequeño de \[A\].
Solo llego a probar que
\[
\bigcup_{\varepsilon > 0} F_\varepsilon = \subsetneq A,
\]
No estoy seguro de si existe una manera más sencilla de demostrar esto; quizá me estoy complicando innecesariamente. Si alguien conoce alguna referencia bibliográfica que trate este tema, agradecería mucho que la compartiera. En cualquier caso, agradecería cualquier tipo de indicación.
