Hola
Buenos días, podrían darme una mano con estos ejercicios.
1.Sean \( A, B \in \mathbb{R}^{n \times n} \) dos matrices tales que cada una admite un único autovalor con parte real negativa.
¿Se sigue de esto que \( A \) y \( B \) son topológicamente conjugadas?
Yo diría que no. Puedes tomar \( n=3 \), \( A \) con autovalores \( -1,1,2 \) y \( B \) con autovalores \( -1,i,-i \)
El primer sistema no tiene órbitas periódicas y el segundo si, luego no pueden ser topológicamente conjugados.
2. Sea \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) tal que el sistema lineal \( x' = Ax \) admite órbitas periódicas.
¿Es estructuralmente estable el sistema lineal \( x' = Ax \)?
No veo porqué. Por ejemplo en dimensión dos si sus autovalores son \( i,-i \) las órbitas son todas periódicas. Sin embargo una mínima perturbación añadiendo una parte real, modifica cualitativamente el comportamiento de las órbitas que podrían en espirales que convergen a cero o divergen al infinito, según el signo de esa perturbación.
Saludos.
