[Richard R Richard]

Hola, en estos años que  participo del foro, siempre me han intrigado las conjeturas basadas en que algún conjunto de números cumple ciertas propiedades. Mis primeras intervenciones estaban relacionadas a esto y no serán seguro las últimas, ciertos hilos me motivan a volverme a preguntar, y ya no se si darle a la pregunta un carácter de reflexión, sinceramiento o lamento:


¿Qué sentido tiene lanzar conjeturas afirmando propiedades  que se cumplen a priori para un número finito de elementos y afirmando que para un conjunto de infinitos elementos se seguirán cumpliendo?.


Entro al meollo

• Un simple contraejemplo da por falsa o verdadera la conjetura.
• Un numero finito de casos positivos por mas grande que sea, no la hace verdadera o falsa respectivamente.

¿Qué sentido tiene formular algo que no se puede probar mas que de forma empírica (al menos para mí), es decir formularlo para un conjunto de números infinito? ,porque desde luego no se dispondrá del tiempo necesario para ejecutar tal tarea. Me refiero a aquellas sencillas que claramente pasan los años y no tienen respuesta.


Otra pregunta de fondo relacionada es la siguiente, el uso de las matemáticas  para la vida real  no requiere de demasiados dígitos de precisión, para que concentrar esfuerzo en probar algo que no sucede antes de tener 20-30-40 dígitos si con probar que para los números de todos los día la conjetura se cumple porque no considerarla cierta o falsa según el caso, que importa si falla después un número de 2 trillones de cifras? A quien le importa dicho mal y pronto, con mucho respeto a quienes de ganan la vida buscando alternativas de demostración,  o bien porque sería útil para algo demostrarla llegado a ese caso.


El otro día Luis se reía y comparto,  cuando expuse el ejemplo de que si es valido una aproximación del número $$\pi$$ a 4, (yo lo he leido, visto y escuchado tantas veces en internet ,  que ya no se si debo interpretarlo como  una virtud de mi profesión o una falta de respeto graciosa) y en el fondo depende de para que caso, $$\pi$$ con mas de 20 dígitos mas tiene mas 10 dígitos que son irrelevantes en mecánica y hasta astronáutica. No hablo de experimentos de cuántica y astrofísica que quizá se sirvan 5 dígitos mas solo para estar seguros.

Y también aclaro que los números  primos para seguridad informática no es a lo que apunto (ya que esta demostrada la utilidad), sino a conjeturas basadas en suma, multiplicación combinación lineal, de enteros, de primos, propiedades de gaps  o teoremas como los de Fermat .¿ Qué ganamos en el día a día con que Andrew Wiles  nos haya dicho  que es en vano buscar un caso positivo del teorema de Fermat, o a que un primo se pueda escribir en el tamaño de un libro pero que no podamos saber que pasa si le sumamos o restamos 2 unidades o bien cuantos primos hay en ese conjunto finito de elementos hasta ese primo.
 
En resumidas cuentas  hay cosas que creo son un desperdicio de tiempo y talento, cuyo descubrimiento o galardón a mi criterio es un tanto injustificado, tarde o temprano habría medios para descubrirlo por el común de la gente, como un dato meramente anecdótico y otras que no, pues ya tienen una aplicación mas mundana inmediata.

Si a los conjuntos le ponemos una cota numérica, para hallar o no hallar un conjunto de elementos que cumplan o no una determinada propiedad , puede ser o no importante dependiendo de que tan útil es la propiedad, tanto en la vida diaria y en el mundillo matematico al que claramente no rayo.

Digamos que todo ese debate y miles de libros publicados al respecto, no son mas que un motor de motivación a la carrera, o un cierto marketing de ideas o de prestigio académico, pero realmente tiene utilidad?.

No se si le hallé el mejor subforo para publicar, sino pásenlo a uno mas de orientación filosófica.

[Masacroso]

Hola, en estos años que  participo del foro, siempre me han intrigado las conjeturas basadas en que algún conjunto de números cumple ciertas propiedades. Mis primeras intervenciones estaban relacionadas a esto y no serán seguro las últimas, ciertos hilos me motivan a volverme a preguntar, y ya no se si darle a la pregunta un carácter de reflexión, sinceramiento o lamento:


¿Qué sentido tiene lanzar conjeturas afirmando propiedades  que se cumplen a priori para un número finito de elementos y afirmando que para un conjunto de infinitos elementos se seguirán cumpliendo?.


Entro al meollo

• Un simple contraejemplo da por falsa o verdadera la conjetura.
• Un numero finito de casos positivos por mas grande que sea, no la hace verdadera o falsa respectivamente.

¿Qué sentido tiene formular algo que no se puede probar mas que de forma empírica (al menos para mí), es decir formularlo para un conjunto de números infinito? ,porque desde luego no se dispondrá del tiempo necesario para ejecutar tal tarea. Me refiero a aquellas sencillas que claramente pasan los años y no tienen respuesta.

Más o menos tú mismo te respondes: efectivamente, es imposible de afirmar nada sobre nada "infinito" de manera empírica, de hecho el infinito ni siquiera existe empíricamente (nunca podrá ser realizado de ninguna manera). Entonces las afirmaciones matemáticas no van realmente sobre cosas reales o realizables, sino sobre modelos de pensamiento (o al menos es como lo veo yo) que luego se pueden aplicar en el mundo real sin problemas, porque, efectivamente, en lo real no hay infinito. Cuando se aplica la matemática, creando un modelo para objetos reales, ese modelo puede contener todo tipo de fantasías mentales, pero a la hora de la verdad empírica lo que importa es que el modelo prediga, con cierta tolerancia al error, lo que se registra.

Y ahora viene el meollo de la cuestión: ¿cómo es posible que una fantasía, o directamente algo contrario a la realidad, sea aproblemática al usarse como modelo de algo real? Porque tal estructura está fundamentada lógicamente(*) y se la presupone consistente. Aquí entra de nuevo la empiria, en una segunda fase: se supone que es consistente porque a día hoy no hay prueba de lo contrario.

Es decir, al final, no hay nada seguro. Como vos bien sabés, ¡a Seguro se lo llevaron preso! Pero, volvemos a la empiria, históricamente usar tales modelos fantasiosos ha sido útil para el desarrollo material, tecnológico, por tanto es razonable seguir utilizando esas herramientas.

Del resto de tu mensaje de momento comentaré lo siguiente:

En resumidas cuentas  hay cosas que creo son un desperdicio de tiempo y talento, cuyo descubrimiento o galardón a mi criterio es un tanto injustificado, tarde o temprano habría medios para descubrirlo por el común de la gente, como un dato meramente anecdótico y otras que no, pues ya tienen una aplicación mas mundana inmediata.

Es que la "fantasía" es muchísimo más sencilla que la realidad empírica. Ése, para mí, es el motivo fundamental de la existencia de las matemáticas: la simplificación extrema, al punto de inventar conceptos irreales que simplifican la forma en la que pensamos. El otro día abrí un tema sobre el axioma de elección, y llegué a esa conclusión: el axioma de elección está ahí y se utiliza mucho, en ciertos aspectos no es razonable, en otros sí... Pero la razón de fondo de su uso ubicuo es que simplifica las cosas, es decir, utilizarlo puede ser entendido como una medida pragmática.

(La contra-cara de esto es que, en matemáticas, cuando uno suele tomar cosas que simplifican hay otra serie de cosas que se complican. Es decir, toda simplificación es un arma de doble filo. Pero al final uno debe decantarse por determinadas simplificaciones y pagar el precio de tener otras complicaciones porque para el uso que se le va a dar a la teoría parece más útil seguir ese camino.)

(*) Añadido: que algo sea "fundamentado lógicamente" lo que viene a significar en este contexto es que es objetivo, o si queremos relajar un poco el concepto, que es fuertemente objetivo. En filosofía (aunque supongo habrá una variedad de posiciones) algo objetivo es:

1) Estrictamente irreal, es decir, una construcción del pensamiento, en oposición a ser subjetivo.
2) Con potencial de ser universalmente aceptable, o dicho de otro modo, que no se pueda rechazar de manera seria.
3) Que es mecanizable (una máquina de Turing puede producir objetividad).

Esto, más o menos y si no recuerdo mal (aunque no era exactamente así, pero es parecido) es como Popper caracterizaba la objetividad, frente a la intersubjetividad y la subjetividad. Aunque es probable que haya mezclado ideas de otros autores como Husserl. En cualquier caso viene a ser mi punto de vista actual. En lo anterior hay que entender que por "real" me refiero a algo perceptible, vivenciable, aunque esto necesitaría de aclaraciones.

Segundo añadido: para evitar controversias, entiendo que muchos no estén de acuerdo con muchas afirmaciones hechas aquí por mí. Es sólo mi punto de vista y tal y como yo lo entiendo actualmente.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Qué sentido tiene lanzar conjeturas afirmando propiedades  que se cumplen a priori para un número finito de elementos y afirmando que para un conjunto de infinitos elementos se seguirán cumpliendo?.

Todo el sentido el mundo. Preguntarse si una propiedad se cumple para un número finito o no de valores. Si una ecuación tiene un número finito o infinito de soluciones. El mismo que preguntarse si la gravedad funcionará igual aquí, o en la Luna, o en Marte o en Júpiter o en galaxias a años luz de distancia: puro espíritu científico. Pura curiosidad humana.

Entro al meollo

• Un simple contraejemplo da por falsa o verdadera la conjetura.
• Un numero finito de casos positivos por mas grande que sea, no la hace verdadera o falsa respectivamente.

¿Qué sentido tiene formular algo que no se puede probar mas que de forma empírica (al menos para mí), es decir formularlo para un conjunto de números infinito? ,

No entiendo que queires decir con eso de que "no se puede probar mas que de forma empírica". Hay montones de propiedades probadas que involucran conjuntos infinitos. Por ejemplo que hay infinitos números primos o que la ecuación de Fermat no tiene soluciones enteras no triviales.

Otra pregunta de fondo relacionada es la siguiente, el uso de las matemáticas  para la vida real  no requiere de demasiados dígitos de precisión, para que concentrar esfuerzo en probar algo que no sucede antes de tener 20-30-40 dígitos si con probar que para los números de todos los día la conjetura se cumple porque no considerarla cierta o falsa según el caso, que importa si falla después un número de 2 trillones de cifras? A quien le importa dicho mal y pronto, con mucho respeto a quienes de ganan la vida buscando alternativas de demostración,  o bien porque sería útil para algo demostrarla llegado a ese caso.

Aquí hay varias cosas mezcladas:

- Si uno está usando un modelo matemático para una aplicación concreta, efectivamente puede ser suficiente que cierta propiedad esté controlada en un cierto rango. Igual que para una determinada aplicación quizá pueda valer una aproximación tan burda de \( \pi \) como \( 3 \) y para otras alguna decimales más.

- Por otra parte el 99% de las matemáticas que se hacen no sirven para nada.  Dicho esto el interés de las conjeturas famosas que han sido atacadas por grandes mentes, no es ya la resolución en si de la conjetura sino toda el desarrollo de la teoría matemática que ha traído de la mano y que quizá (o no) alguna ha tenido alguna aplicación. Por ejemplo el Teorema de Fermat y problemas análogos dio un gran impulso al estudio de la Teoría de números, que si tiene aplicación. Y a veces la utilidad de algo no aparece hasta mucho tiempo después.

- ¿A quién le importa? Me importa a mi que amo las matemáticas. ¿A quien le importa que se hallan gastado millones de dólares en mandar una sonda más allá de Plutón? ¿A quién le importa el origen del Universo? ¿A quién le importa la Quinta Sinfonía de Beethoven? ¿A quién le importa que unos tipos hallan desenterrado una cuchara  o una tumba en medio de las arenas de Egipto?. En ese sentido respeto profundamente que no te interese profundizar este tipo de conjeturas que "se ve" que funcionan para números muy altos;

El otro día Luis se reía y comparto,  cuando expuse el ejemplo de que si es valido una aproximación del número $$\pi$$ a 4, (yo lo he leido, visto y escuchado tantas veces en internet ,  que ya no se si debo interpretarlo como  una virtud de mi profesión o una falta de respeto graciosa) y en el fondo depende de para que caso, $$\pi$$ con mas de 20 dígitos mas tiene mas 10 dígitos que son irrelevantes en mecánica y hasta astronáutica. No hablo de experimentos de cuántica y astrofísica que quizá se sirvan 5 dígitos mas solo para estar seguros.

 Ojo, yo me reía de la confrontación punto de vista de matemáticos vs de ingenieros, porque es un clásico.

En resumidas cuentas  hay cosas que creo son un desperdicio de tiempo y talento, cuyo descubrimiento o galardón a mi criterio es un tanto injustificado, tarde o temprano habría medios para descubrirlo por el común de la gente, como un dato meramente anecdótico y otras que no, pues ya tienen una aplicación mas mundana inmediata.

 Como te he dicho los grandes talentos que se han dedicado a ese tipo de problemas que tan inútiles son, normalmente en paralelo y muchas veces impulsados por esa conjetura abierta han desarrollado y expandido ramas de las matemáticas.

 En cuanto al galardón de alguien que supera los límites del conocimiento humano del momento... si esto no te parece digno de reconocimiento. Se premian músicos, escultores, literatos, pensadores, cineastas, pintores... bienvenidos sean los premios a los matemáticos, caramba.

 Y además, ¿cuánta gente crees que conoce a André Wiles o Perelmán (por decir dos matemáticos que han probado conjeturas famosas)? Conoce bastante más gente a un tal Montoya cuyo principal mérito fue gritar en un reality-show... No creo que estén tan sobrevalorados los matemáticos que han probado grandes conjeturas.

Digamos que todo ese debate y miles de libros publicados al respecto, no son mas que un motor de motivación a la carrera, o un cierto marketing de ideas o de prestigio académico, pero realmente tiene utilidad?.

 Utilidad... hay vida más allá de la utilidad.

Saludos.

[feriva]

¿Qué sentido tiene formular algo que no se puede probar mas que de forma empírica (al menos para mí), es decir formularlo para un conjunto de números infinito? ,porque desde luego no se dispondrá del tiempo necesario para ejecutar tal tarea. Me refiero a aquellas sencillas que claramente pasan los años y no tienen respuesta.

Piensa en esto: vas dando la vuelta al mundo y te encuentras un pino, otro pino y otro pino... Y casi cuando ya has dado la vuelta entera deduces que sigue habiendo pinos; vamos a poner, incluso, que tu vista alcanza para ver que es así. La pregunta es: ¿qué gracia tiene eso? Lo interesante está en pensar por qué tiene que haber pinos durante toda la vuelta, buscar alguna razón, pensar en algo que lo justifique; quizá no se pueda encontrar una justificación, pero si no lo intentamos, desde luego que no la encontraremos nunca, y ahí está el sentido.

En física hay teorías, lo más parecido a los teoremas son las teorías, no los experimentos; y no hay teoremas porque no se puede, como mucho hay leyes, pero las leyes no se parecen tanto a los teoremas, se parecen más a los postulados.

La observación es necesaria, no es suficiente, pues hace falta una interpretación de lo observado; y el proceso de interpretar bien puede ser parecido a una demostración; hay que caer en detalles a veces escondidos al primer golpe de vista.

Ya sólo con eso, las demostraciones o los simples intentos servirán como entrenamiento.

Aparte, ya se han dicho cosas a las que me uno; y entre ellas hay una frase que es la que más me hubiera gustado hacer mía, pero no soy digno de hacerla mía, porque inmediatamente me grita una voz por dentro: “si tanto amaras las matemáticas, las estudiarías aunque fuera un poquitín, so pintas”.

Saludos.

[Richard R Richard]

 efectivamente, es imposible de afirmar nada sobre nada "infinito" de manera empírica, de hecho el infinito ni siquiera existe empíricamente (nunca podrá ser realizado de ninguna manera). Entonces las afirmaciones matemáticas no van realmente sobre cosas reales o realizables, sino sobre modelos de pensamiento (o al menos es como lo veo yo) que luego se pueden aplicar en el mundo real sin problemas, porque, efectivamente, en lo real no hay infinito.

Lo reformuló con algún ejemplo entonces a sabiendas de que no hay nada real que sea infinito, ¿vale la pena suponer que algo pueda alcanzarlo? Y no me refiero a ninguna teoría en particular sobre cardinales infinitos,  que las he intentado seguir.


Digamos si tengo que afirmar que el número par que se me ocurra, se puede escribir como la suma de dos primos , primero no voy  a elegir uno de 4000 dígitos, (que se puede, pero no es la cifra del saldo de mi cuenta en el banco) sino digamos algo mas cotidiano 10 cifras (ojo que tampoco tengo eso en el banco) por decir algo abultado, cuanto te demoras en encontrar varios pares de primos que satisfacen... nada... entonces... para que seguir sosteniendo que se va a encontar un número que no satisafaga, y que utilidad tiene encontrar uno con 20 o mas cifras... Y lo pregunto sinceramente, no despectivamente reconociendo el esfuerzo que conlleva, si no parque desde mi perspectiva  no altera el curso de la historia, y no cambiará el hecho que todos los números pares hasta ese número seguirán siendo obtenibles por la suma de dos primos.
 
En lo que  si estoy de acuerdo en como hace trabajar el ingenio individual o colectivo tratar de probar tanto que no existe como que sí.

Todo el sentido el mundo. Preguntarse si una propiedad se cumple para un número finito o no de valores. Si una ecuación tiene un número finito o infinito de soluciones. El mismo que preguntarse si la gravedad funcionará igual aquí, o en la Luna, o en Marte o en Júpiter o en galaxias a años luz de distancia: puro espíritu científico. Pura curiosidad humana.

Te entiendo , pero no he visto nadie afirmando que puede haber un planeta sin gravedad, cuando todos los que se observan la tienen. Si alguna vez se halla uno, reformularás lo que tengas que reformular.

No entiendo que queires decir con eso de que "no se puede probar mas que de forma empírica". Hay montones de propiedades probadas que involucran conjuntos infinitos. Por ejemplo que hay infinitos números primos o que la ecuación de Fermat no tiene soluciones enteras no triviales.

Del mismo modo entonces ya tienes que decir que habrá infinito gaps de 2 unidades , 4 ... 2n , cual es la razón para no "creerlo" , que no está demostrado , no me lo explico muchas veces. Si voy a un planeta, llevo un cohete que me garantice la velocidad es escape, sin embargo quizá habrá alguno en que no lo necesite, toda prueba indica que si debo llevarlo para poder volver.  Podría preguntarme si se puede viajar a un lado del universo donde la gravedad no exista, si claro talvez, pero aquí, en el vecindario, todo tipo de partícula o energía gravita, para que voy a afirmar que en este universo quizá existe un planeta que no tiene gravedad entonces la ley de gravedad no es verdadera porque no puedes demostrar que todos los planetas gravitan. Tampoco que es falsa pues ya has visto mas de uno que si gravita.
En esa  pulseada  entre lo empírico y lo abstracto me quedo con lo empírico,  aunque mañana sea falso lo que hoy creo es cierto, al menos en este tipo de cosas, no generalizo a toda la matemática para nada,  parte de lo observado será cierto y otra parte nuevo conocimiento.  Por las dudas aclaro que ninguna de todas las observaciones que se puedan hacer en el mundo podrá contradecir a un teorema. De eso no va lo que planteo.
Y por supuesto no lo planteo de un punto de vista ofensivo, ya que esto me divierte y desvela, pero en cierto punto me planteo el para qué de algunas cosas.

- Si uno está usando un modelo matemático para una aplicación concreta, efectivamente puede ser suficiente que cierta propiedad esté controlada en un cierto rango. Igual que para una determinada aplicación quizá pueda valer una aproximación tan burda de \( \pi \) como \( 3 \) y para otras alguna decimales más.

Pero esas convenciones no existen en matemáticas, si en física y en ingeniería eso es lo que planteo ,  porque no sirven $$2\times10^{10}$$ de pruebas exitosas de convergencia por poner un ejemplo reciente, donde estan probados todos lo números sencillos de la vida diaria y se sabe convergerán. No se ponen límites, o se prueba hasta el infinito o no sirve como prueba, no hay ni cota, ni términos medios que los satisfaga, prefieren el tema abierto. Lo lógico sería indicar que si quieres encontrar un contraejemplo busca por encima de .... mientras tanto por debajo es cierto y punto. Una cota empírica.

- Por otra parte el 99% de las matemáticas que se hacen no sirven para nada.  Dicho esto el interés de las conjeturas famosas que han sido atacadas por grandes mentes, no es ya la resolución en si de la conjetura sino toda el desarrollo de la teoría matemática que ha traído de la mano y que quizá (o no) alguna ha tenido alguna aplicación. Por ejemplo el Teorema de Fermat y problemas análogos dio un gran impulso al estudio de la Teoría de números, que si tiene aplicación. Y a veces la utilidad de algo no aparece hasta mucho tiempo después.

Si eso no está en duda, aunque preferiría que se busque la solución de Navier-Stokes, que nos daría millones de aplicaciones al instante y transformaría el mundo que conocemos radicalmente. Son puntos de vista diferentes nada más.

- ¿A quién le importa? Me importa a mi que amo las matemáticas.

Que no lo pongo en duda un ápice y te felicito de corazón, pero no me refiero a eso, si el contraejemplo  de Collatz se obtiene  para n=203 nadie lo estudia, pero si tiene 300 cifras sí, no lo entiendo, 300 cifras es grande , no lo creo, esos números las usas todos los día tampoco me lo creo, pero si se halla  ese número,  a mí me da lo mismo el número que sea,  sirvió de algo ese número mas allá del avance en método de estudio del tema.

¿A quien le importa que se hallan gastado millones de dólares en mandar una sonda más allá de Plutón?

A los que le interese viajar mas allá de plutón en algún momento y no morir en el intento.

¿A quién le importa el origen del Universo? ¿A quién le importa la Quinta Sinfonía de Beethoven? ¿A quién le importa que unos tipos hallan desenterrado una cuchara  o una tumba en medio de las arenas de Egipto?.

Comparto tu idea, que el interés de unos, no es el mismo que el de otros, y eso no lo hace desmerecedores de respeto.

En ese sentido respeto profundamente que no te interese profundizar este tipo de conjeturas que "se ve" que funcionan para números muy altos;

Creo que ya matice recién , el tema pasa que si es un número alto, entonces hay entusiasmo, desarrollo e ideas innovación pero si es bajo, que sucede .. desinterés? o no sirve para nada... porque una vez que se hallé el número , listo no queda mas que la anécdota, sí, todo el bagaje que se ha usado queda, eso no se discute.
Por eso quizá lo reformule pues me he ido de la idea.
No es mejor buscar el enunciado correcto , donde el resultado en sí, marque un antes y despues , mas que un hecho anecdótico, por que como creo entender dices todo lo que va dejando a su paso como conocimiento, en la ingeniería o en la física también  suceden.
Lo que me refiero es que cuando se enfrenta a esos conjuntos donde el empirismo no vale como método, proliferan la conjeturas similares que como a priori es difícil de probar las hace interesantes, pero de utilidad nula inicialmente, no se si es algo natural en las matemáticas  o solo a mí me parece. Que la utilidad viene luego cuando se hacen analogías entre planteos similares o los avances que mencionamos antes.
En lo que  he visto en ingeniería todo desarrollo tiene un objetivo al inicio,  tambien hay que reconocer que hay avances fortuitos y derivados, pero con las conjeturas sobre conjuntos infinitos, prejuzgo  que ante tamaña cantidad de conjeturas parecidas se  aprovechan de los números altos para mantener el interés en esos problemas.

 En cuanto al galardón de alguien que supera los límites del conocimiento humano del momento... si esto no te parece digno de reconocimiento. Se premian músicos, escultores, literatos, pensadores, cineastas, pintores... bienvenidos sean los premios a los matemáticos, caramba.

Creo que lo piensas mas en extremo de como yo lo veo, no digo el conocimiento no merezca recompensa, pero si mañana escibeses el número de Mersenne mas alto hasta la fecha, pasado mañana vendrá otro superior, digo ya sabemos que por esos número hay una fórmula, y una  técnica o procedimiento para saber si es primo o no y un algoritmo que calcula todas las cifras en base a la fórmula, cual es el impedimento que el próximo que se publique no tenga diez tomos de 500 páginas de dígitos , buscar uno mayor  para mi es una pérdida de tiempo, más  si no conoces todos los  primos anteriores a ese... por eso me parece un talento efímero, y dime cual es la utilidad de dicho número, sinceramente no la veo , tiene la misma relevancia que cualquier otro número.

 Y además, ¿cuánta gente crees que conoce a André Wiles o Perelmán (por decir dos matemáticos que han probado conjeturas famosas)? Conoce bastante más gente a un tal Montoya cuyo principal mérito fue gritar en un reality-show... No creo que estén tan sobrevalorados los matemáticos que han probado grandes conjeturas.

De nuevo no digo que no deban ser valorados, el "mono" Navarro Montoya  o Juan Pablo Montoya , son los unicos que se me vienen a la mente, como conocidos ,lo que digo  es que  algunos problemas  en conjuntos infinitos por mas que se resuelvan no van aportar nada, por el contrario  probar la hipotesis de Poincaré sirve en Física como resultado, y no como  fruto derivado de su estudio.


Yo mismo aquí en el foro mostré que por desconocimiento de la demostración de Wiles intentaba empíricamente acercarme a algún resultado positivo del problema de Fermat. Aquí me dijeron que para que lo intentaba si ya estaba probado... entonces una vez hallado el resultado ya hay cierto desaliento a investigar... era lógico igualmente que yo no iba a hallar nada  por las mías, pero , todo el mundo trabaja o intenta porque tiene una esperanza de lograr algo, y justamente es el  infinito hace mantener esa esperanza  aún cuando ya se sabe que la hipótesis es cierta, pero igual la quieren probar.  Desde luego se meten en un imposible ante mis ojos.

 Utilidad... hay vida más allá de la utilidad.

Pues la verdad no me imagino haciendo algo que no sirva absolutamente para nada, solo por el hecho de hacerlo porque puedo o porque quiero, digamos que algunas formas de arte no son lo mío si a eso te refieres, ni tampoco tengo que aclarar que no estoy diciendo que las matemáticas no sirvan para nada, si  tuviera una mínima duda no andaría por aquí.

Piensa en esto: vas dando la vuelta al mundo y te encuentras un pino, otro pino y otro pino... Y casi cuando ya has dado la vuelta entera deduces que sigue habiendo pinos; vamos a poner, incluso, que tu vista alcanza para ver que es así. La pregunta es: ¿qué gracia tiene eso? Lo interesante está en pensar por qué tiene que haber pinos durante toda la vuelta, buscar alguna razón, pensar en algo que lo justifique; quizá no se pueda encontrar una justificación, pero si no lo intentamos, desde luego que no la encontraremos nunca, y ahí está el sentido.

La pregunta que me haría es cuantos pinos tengo que contar para que te convensa a tí, que va haber pinos toda la vuelta.


Para mi si detrás de un pino hay otro pino, y todos los días hacia donde mire tengo pinos detrás de un pino, es suficiente que para lo poco o mucho que mire mi conjetura sea cierta, el dia que detrás de un pino   haya una sequoia, me lo replantearé , pero mientras tanto no tengo porqué suponer que la hilera de pinos tiene que acabarse en algún lado, además no veo para nada útil plantear una hipótesis como que las hileras de pinos tienen infinitos ejemplares solo porque no vi donde terminan. Eso no cambia mi mundo, diré hasta la sequoia tengo pinos y despues siguen mas pinos, pero me temo que en algún lado se leerá "en una hilera de infinitos pinos hay infinitas sequoias" y eso es de lo que va este hilo, si ese infinito no da cierta impunidad para lanzar conjeturas, total no son fáciles de probar.

[Masacroso]

 efectivamente, es imposible de afirmar nada sobre nada "infinito" de manera empírica, de hecho el infinito ni siquiera existe empíricamente (nunca podrá ser realizado de ninguna manera). Entonces las afirmaciones matemáticas no van realmente sobre cosas reales o realizables, sino sobre modelos de pensamiento (o al menos es como lo veo yo) que luego se pueden aplicar en el mundo real sin problemas, porque, efectivamente, en lo real no hay infinito.

Lo reformuló con algún ejemplo entonces a sabiendas de que no hay nada real que sea infinito, ¿vale la pena suponer que algo pueda alcanzarlo? Y no me refiero a ninguna teoría en particular sobre cardinales infinitos,  que las he intentado seguir.


Digamos si tengo que afirmar que el número par que se me ocurra, se puede escribir como la suma de dos primos , primero no voy  a elegir uno de 4000 dígitos, (que se puede, pero no es la cifra del saldo de mi cuenta en el banco) sino digamos algo mas cotidiano 10 cifras (ojo que tampoco tengo eso en el banco) por decir algo abultado, cuanto te demoras en encontrar varios pares de primos que satisfacen... nada... entonces... para que seguir sosteniendo que se va a encontar un número que no satisafaga, y que utilidad tiene encontrar uno con 20 o mas cifras... Y lo pregunto sinceramente, no despectivamente reconociendo el esfuerzo que conlleva, si no parque desde mi perspectiva  no altera el curso de la historia, y no cambiará el hecho que todos los números pares hasta ese número seguirán siendo obtenibles por la suma de dos primos.
 
En lo que si estoy de acuerdo en como hace trabajar el ingenio individual o colectivo tratar de probar tanto que no existe como que sí.

Es cuestión de gusto o curiosidad, no de utilidad. Al matemático que investiga ese tipo de conjeturas le da igual si resulta útil o no: lo hace porque disfruta haciéndolo, al igual que quien hace un crucigrama, ve la tele o va a votar : son cosas absolutamente inútiles, o incluso perniciosas, pero la gente lo hace igualmente. En este caso puedo entender más a un matemático que a muchos otros sujetos que realizan alguna "actividad normal".

En definitiva: se hace por placer, como casi todo en la vida. Una pregunta sin respuesta puede atraparte, incluso de por vida, aunque sea sobre algo "absurdo". ¿Te parece extraño lo que digo?

[feriva]

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Piensa en esto: vas dando la vuelta al mundo y te encuentras un pino, otro pino y otro pino... Y casi cuando ya has dado la vuelta entera deduces que sigue habiendo pinos; vamos a poner, incluso, que tu vista alcanza para ver que es así. La pregunta es: ¿qué gracia tiene eso? Lo interesante está en pensar por qué tiene que haber pinos durante toda la vuelta, buscar alguna razón, pensar en algo que lo justifique; quizá no se pueda encontrar una justificación, pero si no lo intentamos, desde luego que no la encontraremos nunca, y ahí está el sentido.

La pregunta que me haría es cuantos pinos tengo que contar para que te convensa a tí, que va haber pinos toda la vuelta.


Para mi si detrás de un pino hay otro pino, y todos los días hacia donde mire tengo pinos detrás de un pino, es suficiente que para lo poco o mucho que mire mi conjetura sea cierta, el dia que detrás de un pino   haya una sequoia, me lo replantearé , pero mientras tanto no tengo porqué suponer que la hilera de pinos tiene que acabarse en algún lado, además no veo para nada útil plantear una hipótesis como que las hileras de pinos tienen infinitos ejemplares solo porque no vi donde terminan. Eso no cambia mi mundo, diré hasta la sequoia tengo pinos y despues siguen mas pinos, pero me temo que en algún lado se leerá "en una hilera de infinitos pinos hay infinitas sequoias" y eso es de lo que va este hilo, si ese infinito no da cierta impunidad para lanzar conjeturas, total no son fáciles de probar.

Bien. Yo no intento que pienses como yo, eso vaya por delante. Básicamente respondía con una pregunta, “¿qué gracia tiene observar que los pinos parecen no acabarse?”. Evidentemente, con ello estoy haciendo ver que yo no le encuentro demasiado interés al mero hecho de observar si no es para intentar descubrir algo sobre lo observado, pero no estoy diciendo que no tenga interés ni que todo el mundo tenga que tener mi opinión.

Lo que quiero decir lo puedo expresar mejor contestando a una respuesta que le das a Masacroso:

Lo reformuló con algún ejemplo, entonces a sabiendas de que no hay nada real que sea infinito, ¿vale la pena suponer que algo pueda alcanzarlo?

Es que eso no se supone, no se puede alcanzar por definición, también en matemáticas, no hay que demostrarlo. Por ejemplo, la conjetura de Norges, que discutíamos en el otro hilo, es una conjetura sobre el infinito numerable. Los pinos se acaban o no se acaban. En el la conjetura del Norges se observa que, en el proceso, los números siempre acaban descendiendo hasta el nueve. En la conjetura que propone Luis para demostrar la de Norges se observa que los números siempre llegan a un número de una sola cifra (presumiblemente en todas las bases) pero ninguna de las dos conjeturas necesita el infinito para ser demostrada; porque partimos de un número arbitrario siempre finito, por grande que sea, porque “infinito” no es un número, es un concepto distinto al de cantidad.

Cosas parecidas se pueden plantear teóricamente en física y de hecho se plantean. Si el Universo se expande, no existe un “borde” determinado al que podamos llegar, porque, como decía Hawking (una vez que le preguntaron) las condiciones de la frontera del Universo es que el Universo no tiene fronteras. Pero entonces nos surge la pregunta de si se expandirá eternamente. Podemos conjeturar que sí, si embargo, no lo sabemos con seguridad, alguien podrá conjeturar que no.

Porque, por otra parte (y esto ya lo dijo Luis creo que en el hilo de la conjetura de Norges en cuestión) no todas las conjeturas que parecen que se cumplen se acaban cumpliendo. Por ejemplo, tenemos la de Mertens:

https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Mertens

Supongo que fue decepcionante demostrar esto, porque lo contrario hubiera demostrado la conjetura de Riemann, la cual tiene muchas e importantes implicaciones (creo que también en física).

Pero que a uno le interese más y a otro le interese menos el conjeturar sobre estas cosas no es mejor ni peor, cada cual tiene sus opiniones, sus prioridades y su forma de ver las cosas.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola gracias  por tu respuesta, parece que me he ido por la crítica  cuando busco claridad  en puntos en comun,se me hace esquivo plantear el fondo de lo que quiero decir.Ahora se me ocurre ir por el absurdo ,lo planteo desde el desconocimiento:
¿Existe alguna conjetura no demostrada aun, que solo deba ser probada sobre un conjunto  finito de números? Para mi que no, entonces todas estarían basadas en que no se pueden probar por que el conjunto  de pruebas tiene infinitos elementos.


Una cosa es plantear cuántos números 23 hay entre los enteros,  1 , y otra cuántos hay terminados en 23 , infinitos, pero alguien los contó, no seguro.
Bien cuando se habla de conjetura  como la de los primos gemelos, nadie los podrá  contar tampoco, quién podría  pensar que no es cierta, para que una demostración  me pregunto. Si testeas hasta donde testeas se cumple, y cuando se habla de que en las cifras de pi se puede codificar el texto de cualquier libro, pues en los naturales  es lógico que se pueda codificar 1 solo gap de 1 , ninguno de cualquier  otro de  longitud impar y por supuesto  buscando en la secuencia de primos hallarás unos de cualquier  tamaño par que busques , y una vez hallado uno es evidente que se puede repetir  sin límite de veces.
Ahora esto que para mi es evidente,  no entiendo porque no es suficiente  motivo para ya concluir que esos conjuntos tienen infinitos  elementos,  ¿porqué  es una conjetura  abierta todavía?


También  me parece evidente  que aquellas que la probabilidad  de hallar un ejemplo desciende más rápido que el inverso del número testado, no se cumplirán y el hecho que para 5 trillones de cifras se cumpla , ¿que miga trae? Qué trascendencia se le da a ese número ?
Entonces eso de que el conjunto  a probar es infinito  es en mi opinión  un abuso para dejar abierto un tema que para números de todos los días es evidente  y probado, es decir problema cerrado.

[feriva]

Hola gracias  por tu respuesta, parece que me he ido por la crítica  cuando busco claridad  en puntos en comun,se me hace esquivo plantear el fondo de lo que quiero decir.Ahora se me ocurre ir por el absurdo ,lo planteo desde el desconocimiento:
¿Existe alguna conjetura no demostrada aun, que solo deba ser probada sobre un conjunto  finito de números? Para mi que no, entonces todas estarían basadas en que no se pueden probar por que el conjunto  de pruebas tiene infinitos elementos.


Una cosa es plantear cuántos números 23 hay entre los enteros,  1 , y otra cuantos hay terminados en 23 , infinitos, pero alguien los contó, no seguro.
Bien cuando se habla de conjetura  como lacde los primos gemelos, nadie los podrá  contar tampoco, quien podría  pensar que no es cierta, para que una demostración  me pregunto. Si testeas hasta dode testeas se cumple, y cuando se habla de que en las cifras de pi se puede codificar el texto de cualquier libro, pues en los naturales  es lógico que se pueda codificar 1 solo gap de 1 , ninguno de cualquier  otro de  longitud impar y por supuesto  buscando en la secuencia de primos hallaras unos de cualquier  tamaño par que busques , y una vez hallado uno es evidente que se puede repetir  sin límite de veces.
Ahora esto que para mi es evidente,  no entiendo porque no es suficiente  motivo para ya concluir que esos conjuntos tienen infinitos  elementos,  ¿porqué  es una conjetura  abierta todavía?


También  me parece evidente  que aquellas que la probabilidad  de hallar un ejemplo desciende más rápido que el inverso del número testado, no se cumplirán y el hecho que para 5trillones de cifras se cumpla , ¿que miga trae? Que trascendencia se le da a ese número ?
Entonces eso de que el conjunto  a probar es infinito  es en mi opinión  un abuso para dejar abierto un tema que para números de todos los días es evidente  y probado, es decir problema cerrado.

No sabemos lo grandes que pueden llegar a ser los números que en el futuro manejen los ordenadores, pero tampoco hay problema en lo que dices; una conjetura se puede dar por buena y, si algún día falla, pues nada, se descarta lo que se haya hecho con ella. Eso pasa con la hipótesis de Riemann y otras, hay teoremas basados en conjeturas no demostradas, pero son teoremas condicionados, no es imposible del todo que sean falsos. Para mí, la conjetura de Goldbach es segura, pero no  puedo decir que sea imposible (aunque lo piense) porque para eso hace falta un argumento que deje sentada la afirmación para toda la vida (por eso se dice que los teoremas matemáticos son para siempre).

El único problema que puede surgir al dar por verdadera una conjetura, y trabajar con ella como si lo fuera, es que se construyan muchas verdades que podrían dejar de serlo; y habría que desecharlas y rehacer todo. Ese problema lo tienen las otras ciencias (hay que echar manos de entes de existencia no comprobada, como los gravitones o como la materia oscura o el ADN basura -éste sí existe, pero no codifica proteínas y es hipotético que influya en cambios genéticos- y otras cosas parecidas, para sustentar las teorías cuando nuevos resultados dan problemas de consistencia).
Pero si es es cierto que hay algunas cosas que es muy difícil que fallen, que se ve casi imposible.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola
 
 Richard R Richard. Creo que mezclas cosas:

- Una cosa es que digas: no me interesan las matemáticas que no tienen aplicación a la realidad. Bien. Entonces no te interesan cosas como el Teorema de Fermat o la Conjetura de Collatz. E inlcuso puedes ir más allá y defender que nadie debería de perder su tiempo en eso, o al menos lo grandes talentos. Bien.

- Otra cosa es que digas: Tal modelo o ecuación tiene aplicación para la realidad, pero sólo para valores comprendidos entre tanto y tanto. Me da igual lo que pase más allá. Perfecto y de acuerdo. Eso incluye usar aproximaciones de \( \pi \); pero las matemáticas contemplan eso. Hay teorías para aproximar números y acotar el error; o cuando una conjetura está comprobada hasta tal números se deja documentado y si eso sirve para el modelo perfecto.

- Y tercera cosa distinta es decir: de acuerdo voy a estudiar un problema a pesar de que sé que no tiene la más mínima aplicación. Pongamos probar que \( x^3+y^3=z^3 \) no tiene soluciones en los naturales o que tal sucesión generada con una semilla siempre vuelve a un mismo valor (tipo conjetura de Collatz). Entonces lo que es incoherente o arbitrario es que digas:  bueno lo compruebo hasta tal número y como se cumple se que es cierta. Y considero innecesario y absurdo seguir probando. ¿Y eso por qué? ¿Dónde pones el límite de la buena comprobación? ¿Por qué no un caso más o uno menos? Como se te ha comentado hay casos donde los contraejemplos aparecen para números elevadísimos. En ese sentido te recomiendo echar un vistazo a este hilo y a sus enlaces:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=87127.0
 
 Todas esas cosas que dices "para mi" es evidente que, no vale; las matemáticas no funcionan con subjetividades o indicios; y los ejemplos del enlace anterior justifican el porqué.

Saludos.