Hola
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia del punto (3,2) es siempre igual al triple de su distancia a la recta \( y+1=0 \)
Lo que he hecho:
La distancia de dicho punto (x, y) a (3, 2) es:
\( \sqrt[ ]{(x-3)^{2}+(y-2)^{2}} \) (*)
La distancia de (x, y) a la recta \( y+1=0 \) es:
\( \displaystyle\frac{y+1}{\pm{\sqrt[ ]{0^{2}+1^{2}}}}=\pm{(y+1)} \) (**)
Igualando (*) y (**) y multiplicando 3 a (**) se tiene que:
\( \sqrt[ ]{(x-3)^{2}+(y-2)^{2}} = \pm{3(y+1)} \)
¿Está bien el planteamiento?
Está bien salvo un detalle. Las distancias son siempre positivas, así que más bien debes de usar el valor absoluto:
\( \displaystyle\frac{|y+1|}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=|y+1| \)
y queda:
\( \sqrt[ ]{(x-3)^{2}+(y-2)^{2}} =|3(y+1)| \)
Al elevar al cuadrado ambos términos para simplificar la ecuación, el valor absoluto se vuelve irrelevante.
Por otra parte nota que por definición/caracterización de cónica como lugar geométrico de puntos cuyo cociente entre distancia a foco y directriz es igual a una constante llamada excentricidad, tu curva es una cónica de excentricidad \( 3>1 \): una hipérbola. De foco \( (3,2) \) y directriz asociada \( y+1=0 \).
Saludos.
