[petras]

Si \( ABCD  \) es un cuadrado, calcular el área de la región sombreada siendo \( AB = 4m \). (\( T \) punto de tangencia)"

Spoiler

(Gabarito: \( 5m^2 \))

[cerrar]

[ani_pascual]

Hola:

Si \( ABCD  \) es un cuadrado, calcular el área de la región sombreada siendo \( AB = 4m \). (\( T \) punto de tangencia)"

Spoiler

(Gabarito: \( 5m^2 \))

[cerrar]

...

Analíticamente ... 

Spoiler

se pueden obtener las coordenadas de los vértices del triángulo y luego hallar su área...
\( A(0,4), B(4,2), C(1,1) \).
Así el área pedida es \( \dfrac{1}{2}\left| det\left(\begin{array}{ccc}0&4&1\\4&2&1\\1&1&1\end{array}\right)\right|=\boxed{5\, m^2} \)
Si es de interés... añadiré más tarde cómo se pueden hallar esas coordenadas...

[cerrar]

Saludos

[Pie]

Una forma un poco más geométrica..

Spoiler

Si \( ABCD  \) es un cuadrado, calcular el área de la región sombreada siendo \( AB = 4m \). (\( T \) punto de tangencia)"

Spoiler

(Gabarito: \( 5m^2 \))

[cerrar]

Por ser \( T \) punto de tangencia se tiene que \( CT = CD = CB \), por tanto \( \triangle{DCT} \) y \( \triangle{BCT} \) son isósceles.

Llamando \( O \) al centro del semicirculo tenemos también que  \[ OCD \equiv{}OCT \equiv{}MBC \], de donde:

\[ \widehat{TCD} = 2\widehat{MBC} \Longrightarrow \widehat{BCT} = 90^o - 2\widehat{MBC}  \]

Y como \( \triangle{BCT} \) es isósceles:

\[ \widehat{TBC} = 45^o + \widehat{MBC}\Longrightarrow \widehat{QBM}=45^o \]

Por tanto el cuadrilátero \( QBCM \) es inscriptible, por tener dos ángulos de \( 45^o \) abarcando la cuerda \( QM \), de donde se deduce que el triángulo \( \triangle{MQB} \) es rectángulo e isósceles.

Finalmente, como:

\[ BM^2 = 4^2 + 2^2 = 20 = BQ^2 + QM^2 \Longrightarrow{} BQ = QM = \sqrt{10} \]

Y el área pedida es:

\[ Area(\triangle{MQB}) = \displaystyle\frac{\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}}{2} = 5 \ m^2 \]

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Saludos.

[petras]

Una forma un poco más geométrica..

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Si \( ABCD  \) es un cuadrado, calcular el área de la región sombreada siendo \( AB = 4m \). (\( T \) punto de tangencia)"

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(Gabarito: \( 5m^2 \))

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Por ser \( T \) punto de tangencia se tiene que \( CT = CD = CB \), por tanto \( \triangle{DCT} \) y \( \triangle{BCT} \) son isósceles.

Llamando \( O \) al centro del semicirculo tenemos también que  \[ OCD \equiv{}OCT \equiv{}MBC \], de donde:

\[ \widehat{TCD} = 2\widehat{MBC} \Longrightarrow \widehat{BCT} = 90^o - 2\widehat{MBC}  \]

Y como \( \triangle{BCT} \) es isósceles:

\[ \widehat{TBC} = 45^o + \widehat{MBC}\Longrightarrow \widehat{QBM}=45^o \]

Por tanto el cuadrilátero \( QBCM \) es inscriptible, por tener dos ángulos de \( 45^o \) abarcando la cuerda \( QM \), de donde se deduce que el triángulo \( \triangle{MQB} \) es rectángulo e isósceles.

Finalmente, como:

\[ BM^2 = 4^2 + 2^2 = 20 = BQ^2 + QM^2 \Longrightarrow{} BQ = QM = \sqrt{10} \]

Y el área pedida es:

\[ Area(\triangle{MQB}) = \displaystyle\frac{\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}}{2} = 5 \ m^2 \]

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Saludos.

Saludos

[petras]

Hola:

Si \( ABCD  \) es un cuadrado, calcular el área de la región sombreada siendo \( AB = 4m \). (\( T \) punto de tangencia)"

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(Gabarito: \( 5m^2 \))

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...

Analíticamente ... 

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se pueden obtener las coordenadas de los vértices del triángulo y luego hallar su área...
\( A(0,4), B(4,2), C(1,1) \).
Así el área pedida es \( \dfrac{1}{2}\left| det\left(\begin{array}{ccc}0&4&1\\4&2&1\\1&1&1\end{array}\right)\right|=\boxed{5\, m^2} \)
Si es de interés... añadiré más tarde cómo se pueden hallar esas coordenadas...

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Saludos

Agradecido