Sean \( p_1,p_2,\dots,p_n \) números primos, y sea \( m \) un entero tal que \( 1<m<n \). Sea \( Q \) el Q conjunto de \( m \) primos de la lista y sea \( R \) el conjunto de los primos restantes, sea \( \displaystyle q=\prod_{p\in Q}p \) y \( \displaystyle r=\prod_{p\in R}p \).
Me gustaría demostrar sin utilizar el teorema fundamental de la aritmética que si \( p\in Q \), entonces \( p\nmid r \), es que estoy viendo un curso de teoría de números, pero solo lo que hemos en primos, es la definición de número primo, tambien mostramos que para cualquier numero natural, existe un primo que lo supera, y que los factores primos de \( n \), no superan a \( \sqrt{n} \), no se si solo con eso se puede demostrar lo anterior
Hola. Antes de nada perdóname por si no entendiera bien.
Entiendo que consideras todos los primos consecutivos según los subíndices naturales 1,2,3... tal que 2 es \( p_{1} \), 3 es \( p_{2} \), etc.
Entonces tienes un conjunto de primos hasta un subíndice “m”, es decir, tienes, desde el primer primo, que es 2, los primeros “m” primos consecutivos. Y, después, tienes otro conjunto que son todos los primos mayores que ésos. ¿Es así?
Si es así, la intersección de primos es vacía, con lo que el primo perteneciente a un producto no puede dividir al producto de primos del otro conjunto.
Efectivamente, la idea está íntimamente ligada al TFA. Si consideras el conjunto de los primos grandes, puedes argumentar que ningún número divide a otro menor que sí mismo, sea primo o compuesto (
incluso en este caso va a estar presente el TFA, porque el primo intenta dividir al producto, que puede ser más grande) pero, al revés... veo muy difícil escapar de usar el TFA; puedes disimularlo, pero va a estar presente, va a ser como meter la cabeza en el agujero del avestruz. No obstante, esto es un opinión (y además una opinión condicionada a que te haya entendido bien).
Saludos.
