[anartesi]

Hola, buenas tardes.
Tengo que probar que en $$\mathbb{R}^n$$, la colección B de todas las bolas $$B(a,r)$$ forman una base para una topología.

Resulta que recién estoy pensando con cosas en $$\mathbb{R}^n$$ y me confundo:
Además me definieron una base de entorno de un punto, ahora lo que me pregunto es:

¿si tengo un punto $$p \in{\mathbb{R}^n}$$ ese punto también pertenece a $$B(a,r)$$ y después es cuestión de definir el radio convenientemente para que se den las condiciones de base de entorno en un punto?

[Fernando Revilla]

Hola, buenas tardes.  Tengo que probar que en $$\mathbb{R}^n$$, la colección B de todas las bolas $$B(a,r)$$ forman una base para una topología.

En general, para todo espacio métrico \( X \) la colección de todas las bolas abiertas \( B_a \) de centro \( a \) forman base para una topología en \( X \). Esto ocurre pues \( X=\bigcup_{a\in X}B_a \) y porque para cualqier par de bolas abiertas \( B_1 \) y \( B_2 \) con \( p\in B_1\cap B_2 \) existe una bola \( B_p \) con \( B_p\subset B_1\cap B_2 \).

[Fernando Revilla]

Es que me definieron bases así y no tengo otra referencia ... por ahora, por eso pensé que debería usarlo ...

¿Sólo estudiáis los espacios métricos \( \mathbb{R}^m \)?

[Fernando Revilla]

No, pero tengo ese ejercicio en un práctico y se me mezclaron las cosas ... me dan tantas definiciones distintas que creo, voy a tener que elegir algunas y descartar otras...porque se me hace mucho lío, entiendo el libro de Seymour Lipschutz, de Topología,  pero no demasiado lo que me dan en la universidad.

Veamos, en el libro que mencionas, se da una caracterización be base de una topología en el Teorema 6.1 y en el Teorema 8.4 se demuestra lo que te piden. Si tienes alguna duda, pregunta.

[Masacroso]

Por añadir a lo dicho por Fernando e ir conectando conceptos. Si \( A\subset X \) es abierto en un espacio topológico \( X \) entonces para cada \( p\in A \) existe un entorno básico abierto \( U_p \) de \( p \) tal que \( U_p\subset A \), por definición de base de entornos ya que \( A \) es entorno de \( p \). Entonces se sigue que \( A=\bigcup_{p\in A}U_p \), es decir, que \( A \) al ser abierto siempre se puede escribir como unión de entornos abiertos básicos.

Finalmente, en un espacio métrico \( X \) si \( p\in X \) entonces \( \mathfrak{U}(p):=\{\mathbb{B}(p,r):r>0\} \) es una base de entornos de \( p \) (en la topología inducida por la función distancia en \( X \)), de donde se sigue que \( \mathfrak{B}:=\bigcup_{p\in X}\mathfrak{U}(p)=\{\mathbb{B}(p,r):p\in X\,\land\, r>0\} \) es una base topológica de \( X \), ya que cualquier abierto de \( X \), por lo dicho en el primer párrafo, puede escribirse como unión de elementos de \( \mathfrak{B} \).

[ani_pascual]

Hola:

Hola, buenas tardes.
Tengo que probar que en $$\mathbb{R}^n$$, la colección B de todas las bolas $$B(a,r)$$ forman una base para una topología.
...

Por complementar un poco lo dicho hasta ahora,  te sugiero como ejercicio que compruebes que
la familia \( \tau({\cal B})=\{A\subset \mathbb{R}^n\,|\,\forall\,a\in A,\,\exists\,b\in\mathbb{R}^n \wedge\, \exists\,r>0,\,\,a\in B(b,r)\subset A\}\subset {\cal  P}(\mathbb{R}^n) \) es una topología en \( \mathbb{R}^n \) y \( {\cal B}=\{B(x,r)\,|\,x\in\mathbb{R}^n,\,r>0\} \) es base de \( \tau({\cal B}) \)
En realidad, esto es cierto en general, es decir, dado un conjunto no vacío \( X \), siempre que se tiene una base de topología \( {\cal B}=\{B_i\}_{i\in I}\subset {\cal P}(X) \), entonces la familia \( \tau({\cal B})=\{A\subset X\,|\,\forall\,a\in A,\exists\,i\in I,\,\,a\in B_i\subset A\} \) es topología en \( X \) y además \( {\cal B} \) es base de \( \tau({\cal B}) \)
Saludos

[Masacroso]

Hola, debería usar la definición de topología para probar eso, pero primero tengo que acostumbrarme a todas esas letras juntas...

Si te sirve de algo: las matemáticas son, esencialmente, un lenguaje, o más bien, una colección de dialectos de un lenguaje. Conforme practicas el lenguaje más sencillo te resulta. Y conforme más aprendas más fácil te resulta "comprender" las teorías abstractas, ya que lo abstracto se ve ejemplificado en cosas más "concretas".

Es normal estar un poco "como pollo sin cabeza" cuando se tiene que aprender todo un nuevo dialecto, lleva su tiempo asimilarlo y entenderlo o encontrarle sentido. Sentido tiene aunque no se sepa, porque si está ahí es por algo.

Por ejemplo, conocer sobre espacios métricos y topologías es ampliamente utilizado en análisis funcional y armónico, donde se aplican a cosas más "concretas". En diferentes topologías que aparecen de manera natural, una función puede ser continua en una y no en otra, e interesa ver la relación en diferentes topologías naturales. Para probar diferentes propiedades y relaciones de diferentes topologías hay que dominar este dialecto, o al menos, una parte de él.

[Luis Fuentes]

Hola

Si te sirve de algo: las matemáticas son, esencialmente, un lenguaje, o más bien, una colección de dialectos de un lenguaje. Conforme practicas el lenguaje más sencillo te resulta. Y conforme más aprendas más fácil te resulta "comprender" las teorías abstractas, ya que lo abstracto se ve ejemplificado en cosas más "concretas".

Esta es una idea que has transmitido en otros hilos Masacroso... ¡discrepo tanto en presentar así las matemáticas!  . Para mi el lenguaje es lo de menos o no es lo principal; las matemáticas formalizan (y ahí si entra lenguaje) un montón de ideas intuitivas (y no entro en el jardín de precisar que se entiende por intuitivo  ).

La topología es un buen ejemplo, nace como abstracción de la topología euclídea que es muy intuitiva. Por concretar: saber si un conjunto plano (no monstruoso) es abierto o cerrado con la topología euclídea es algo obvio para quien entiende el concepto. Formalizarlo al 100% puede ser de tedioso a un auténtico infierno, dependiendo del caso.

Me decía un profesor durante la carrera, que lo importante en matemáticas son las ideas; el formalizarlas es pura y rutinaria técnica.

Saludos.

[Masacroso]

Hola

Si te sirve de algo: las matemáticas son, esencialmente, un lenguaje, o más bien, una colección de dialectos de un lenguaje. Conforme practicas el lenguaje más sencillo te resulta. Y conforme más aprendas más fácil te resulta "comprender" las teorías abstractas, ya que lo abstracto se ve ejemplificado en cosas más "concretas".

Esta es una idea que has transmitido en otros hilos Masacroso... ¡discrepo tanto en presentar así las matemáticas!  . Para mi el lenguaje es lo de menos o no es lo principal; las matemáticas formalizan (y ahí si entra lenguaje) un montón de ideas intuitivas (y no entro en el jardín de precisar que se entiende por intuitivo  ).

La topología es un buen ejemplo, nace como abstracción de la topología euclídea que es muy intuitiva. Por concretar: saber si un conjunto plano (no monstruoso) es abierto o cerrado con la topología euclídea es algo obvio para quien entiende el concepto. Formalizarlo al 100% puede ser de tedioso a un auténtico infierno, dependiendo del caso.

Me decía un profesor durante la carrera, que lo importante en matemáticas son las ideas; el formalizarlas es pura y rutinaria técnica.

Saludos.

¿Quieres decir que los conceptos de topología general te parecen intuitivos? A mí ni por asomo. ¿Los axiomas que definen una topología te parecen algo "evidente" a la hora de crear una herramienta para expresar la continuidad de funciones? No dudo de que la topología en el plano o el espacio tenga elementos "intuitivos", pero no creo que tengan mucho que ver con la topología general. Dicho de otro modo, ¿te parece intuitivo que un intervalo abierto es algo que pueda caracterizar las funciones intuitivamente continuas? Si es así tenemos una visión muy distinta de lo que es intuitivo.

Para mí algo intuitivo es algo que no requiere razonamiento ni estudio alguno, que es inmediato o casi inmediato a la conciencia. Lo aclaro por las dudas, para tener una base sobre la que compartir opiniones y que se entienda a lo que me refiero.

Por otra parte creo que entendemos cosas diferentes por la palabra "lenguaje". Quizá el error sea mío, debí haber dicho "lengua" en vez de "lenguaje", o "idioma" (de ahí lo de dialecto, como idea de "subidioma"). Me refiero a interrelacionar los conceptos, darle significados, entender las ideas, no me refiero a su "escritura" ni "formalización". Básicamente, a hacer el ejercicio de relacionar neuronalmente signos con significados, lo que es aprender a hablar un idioma. Pero a esto usualmente se le denomina lenguaje, o lenguaje técnico cuando es algo muy especializado, como en química, medicina, etc... No es algo relacionado con formalismo alguno, sino con la comprensión de toda una serie de conceptos y sus relaciones.

[Luis Fuentes]

Hola

¿Quieres decir que los conceptos de topología general te parecen intuitivos? A mí ni por asomo. ¿Los axiomas que definen una topología te parecen algo "evidente" a la hora de crear una herramienta para expresar la continuidad de funciones?

No. Por eso la forma natural de introducirse en la topología es a partir de la topología euclídea. Y a partir de ahí se va subiendo el nivel de abstracción, hasta llegar a la definición abstracta y más general de una topología.

Es decir, como casi todo en matemáticas, los conceptos más abstractos nacieron de generalizar conceptos los más intuitivos.

No dudo de que la topología en el plano o el espacio tenga elementos "intuitivos", pero no creo que tengan mucho que ver con la topología general. Dicho de otro modo, ¿te parece intuitivo que un intervalo abierto es algo que pueda caracterizar las funciones intuitivamente continuas? Si es así tenemos una visión muy distinta de lo que es intuitivo.

¡Cómo no van a tener qué ver!. La topología general nace intentando generalizar la posibilidad que tenemos en espacios métricos de hablar de puntos cercanos.

De todas formas yo no creo que tengamos una forma tan diferente de entender las matemáticas, pero digamos, si de "venderlas". Lo que me transmites (pero es una interpretación subjetiva) cuando pones en primer plano las matemáticas como lenguaje abstracto, es decir, lo que yo entendería, es que para hacer una demostración matemática tengo que mecánicamente seguir unas reglas que relacionan unas definiciones y resultados previos para llegar  a otros, pero sin entender que ideas hay detrás de esas reglas y definiciones. Así sería casi imposible avanzar nada. Conste que probablemente es una interpretación errónea de lo que dices.

En el caso de la topología, no se puede (o no se debe) pretender que alguien trabaje en topología simplemente basándose en la definición: una familia de conjuntos que cumple bla, bla, bla...

Lo razonable (al menos desde mi punto de vista) es tener como referencia la topología euclídea, entendiendo que como en toda generalización, puede tener comportamientos diferentes.

Pero a esto usualmente se le denomina lenguaje, o lenguaje técnico cuando es algo muy especializado, como en química, medicina, etc... No es algo relacionado con formalismo alguno, sino con la comprensión de toda una serie de conceptos y sus relaciones.

Bien, eso es distinto y estoy de acuerdo.

Saludos.