[jotajotalh]

Sean \( I \) y \( J \) ideales en \( \mathbb{Z}_5[x ]\).

\( I = (x^3 + 4x^2 + 2) \) y \( J = (x^3 + 2x^2 + x + 2)
 \)
Hasta ahora, me he topado con ejercicios en los que se me pedía hallar el generador de \((I, J)\), en los cuáles yo calculaba el \(mcd(I, J) \). De manera que, mi pregunta es la siguiente:

¿Qué método podría utilizar para hallar el generador de \( I \cap J \) y para \( I \cup J \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Sean \( I \) y \( J \) ideales en \( \mathbb{Z}_5[x ]\).

\( I = (x^3 + 4x^2 + 2) \) y \( J = (x^3 + 2x^2 + x + 2)
 \)
Hasta ahora, me he topado con ejercicios en los que se me pedía hallar el generador de \((I, J)\), en los cuáles yo calculaba el \(mcd(I, J) \). De manera que, mi pregunta es la siguiente:

¿Qué método podría utilizar para hallar el generador de \( I \cap J \) y para \( I \cup J \)?

\( (I\cup J)=(I,J) \) (ambos son el ideal más pequeño que contiene a \( I,J \)).

Por otro lado si  \( I=(f(x)) \) y \( J=(g(x)) \) entonces:

\( (I\cap J)=(mcm(f(x),g(x)) \).

¿Sabes terminar ahora?.

Saludos.

[jotajotalh]

Buenas,

Lo que he hecho ha sido aplicar que:

\( mcm(a,b) = \frac{a \cdot b}{mcd(a, b)}\)

Me queda:

\( (I \cap J) = (mcm(I, J)) = (\frac{I \cdot J}{mcd(I, J)}) = (\frac{x^6+x^5+4x^4+3x^3+2x^2+2x+4}{x+2}) = (x^5+4x^4+x^3+x^2+2) \)

¿Estoy en lo cierto o hay algún error?
Un saludo, gracias de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que he hecho ha sido aplicar que:

\( mcm(a,b) = \frac{a \cdot b}{mcd(a, b)}\)

Me queda:

\( (I \cap J) = (mcm(I, J)) = (\frac{I \cdot J}{mcd(I, J)}) = (\frac{x^6+x^5+4x^4+3x^3+2x^2+2x+4}{x+2}) = (x^5+4x^4+x^3+x^2+2) \)

¿Estoy en lo cierto o hay algún error?

Está bien.

Saludos.