[malboro]

Hola a todos, estuve curiosiando sobre la prueba de la regla de la potencia en derivadas y me quedé con algunas dudas, por ejemplo si \( f(x)=x^n \) con \( n\in \mathbb{N} \), aquí todo tranquilo, se utiliza el binomio de Newton, pero si  \( n\in \mathbb{R} \) y  estamos considerando que \( f \) es una función real de variable real. En este último caso veo que algunos utilizan derivada implícita y en ese caso  \( x>0 \). Pregunta: Hay una prueba que no utlice casos para \( x \) y para \( n \) o alguna interesante que conozcan sin utilizar derivada implícita?

Muchas gracias

[Masacroso]

Hola a todos, estuve curiosiando sobre la prueba de la regla de la potencia en derivadas y me quedé con algunas dudas, por ejemplo si \( f(x)=x^n \) con \( n\in \mathbb{N} \), aquí todo tranquilo, se utiliza el binomio de Newton, pero si  \( n\in \mathbb{R} \) y  estamos considerando que \( f \) es una función real de variable real. En este último caso veo que algunos utilizan derivada implícita y en ese caso  \( x>0 \). Pregunta: Hay una prueba que no utlice casos para \( x \) y para \( n \) o alguna interesante que conozcan sin utilizar derivada implícita?

Muchas gracias

He leído tu "pregunta" pero no he conseguido entender nada. ¿Qué es lo que preguntas exactamente? ¿Por una demostración de que si \( f:(0,+\infty )\to \mathbb{R},\, x\mapsto x^{\alpha } \) que \( f'(x)=\alpha x^{\alpha -1} \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola a todos, estuve curiosiando sobre la prueba de la regla de la potencia en derivadas y me quedé con algunas dudas, por ejemplo si \( f(x)=x^n \) con \( n\in \mathbb{N} \), aquí todo tranquilo, se utiliza el binomio de Newton, pero si  \( n\in \mathbb{R} \) y  estamos considerando que \( f \) es una función real de variable real. En este último caso veo que algunos utilizan derivada implícita y en ese caso  \( x>0 \). Pregunta: Hay una prueba que no utlice casos para \( x \) y para \( n \) o alguna interesante que conozcan sin utilizar derivada implícita?

Lo de \( x>0 \) no es que sea dividir en casos; es que si el exponente es real y la base es negativa en general no está definida la potencia. Por ejemplo \( (-2)^{\sqrt{2}} \).

Por eso se supone \( x>0 \).

Entonces puedes tener en cuenta que: \( x^m=e^{m\cdot ln(x)} \) y usar la regla de la cadena, la derivada de la exponencial y del logaritmo (que se supondrán previamente demostrados).

Saludos.

[malboro]

Muchas gracias Manco, Masacroso quería que el conjunto de partida sea el de los números reales y el exponente real, pero ya entendí la idea, gracias.

Saludos