Buenas, creo que te estás complicando un poco... el morfismo no irreducible es efectivamente la inclusión \( i:S(3)\to N \), que es la identidad en el vértice 3 y 0 en los otros.
Como \( S(3) \) y \( N \) solo son distintos de cero en los vértices 2 y 3 podemos hacer las cuentas restringidos al subcarcaj que tiene los vértices 2 y 3 con la flecha \( \alpha_2:2\to 3 \).
Allí tenemos \( S(3)=(0\to K) \) y \( N=(K\xrightarrow{1}K) \). Veremos que \( i \) es irreducible:
\( \bullet \) \( i \) no es retracción : si lo fuera, tendríamos un morfismo \( p:N\to S(3) \) tal que \( p\circ i= id_{S(3)} \). Esto nos da que en el vértice 3 \( p_3\circ i_3=id_K \), o sea \( p_3\circ id_K=id_{K} \), luego \( p_3=id_K \). Por otro lado, como \( S(3)_2=0 \), \( p_2:N_2\to 0 \) debe ser 0. Ahora, por ser morfismo, \( p \) debe conmutar con los morfismos asociados a \( \alpha_2. p_3\circ \varphi_\alpha=\varphi_\alpha^\prime \circ p_2 = 0 \) y debe ser \( p_3=0 \) pues \( \varphi_\alpha=id \) (es el morfismos asociado a \( \alpha_2 \) en \( N \)), una contradicción.
\( \bullet \) \( i \) no es sección: si lo fuera, tendríamos un morfismo \( p:N\to S(3) \) tal que \( i\circ p=id_N \), luego en el vértice 2, \( i_2\circ p_2=(i\circ p)_2=id_K \), pero \( i_2=0 \), una contradicción.
\( \bullet \) Sea \( i=f\circ g \) una factorización con \( g:S(3)\to M \) y \( f:M\to N \) para \( f,g \) morfismos y \( M \) módulo. Notar primero que podemos suponer \( M \) indescomponible por ser \( S(3) \) y \( N \) indescomponibles.
Si \( M \) tiene \( M_3=0 \), luego \( g=0 \) pero \( i\neq 0 \), por lo que \( M_3\neq 0 \).
Si \( M_2=0 \) (y \( M_3\neq 0 \)), \( M=S(3) \) y \( g \) debe ser un isomorfismo, en particular sección.
Si \( M_2\neq 0 \) (y \( M_3 \neq 0 \)), por ser indescomponible debe ser \( M_2=M_3=K \) y \( M\cong N \), luego \( f \) isomorfismo y por tanto retracción.
Supongo que había formás más directas de ver que esta inclusión es irreducible, pero bueno.
