[petras]

"Calcular \( x^o \) si \( P \) e \( Q \) são pontos de Brocard e \( AB = BC \)

(Gabarito: 30^o)

[ani_pascual]

Hola:

"Calcular \( x^o \) si \( P \) e \( Q \) são pontos de Brocard e \( AB = BC \)

(Gabarito: 30^o)
...

Si no me equivoco...

Spoiler

Si \( \omega \) es el ángulo de Brocard de \( P \) se tiene \( \dfrac{1}{\tan \omega}=\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}=\dfrac{1}{\tan 37^{\circ}}+\dfrac{1}{\tan 37^{\circ}}+\dfrac{1}{\tan 106^{\circ}}\Longrightarrow \omega\simeq 22,9^{\circ} \).
Así, como el ángulo de Brocard de \( Q \) es el mismo, y al ser \( \triangle{ABC} \) isósceles, se tiene
\( \widehat{APQ}=\widehat{BQP}=\dfrac{360^{\circ}-2\omega}{2}\simeq 157^{\circ} \) y como es \( \widehat{APC}=\widehat{BQC}=180^{\circ}-37^{\circ}=143^{\circ} \) se deduce que \( \widehat{\textcolor{blue}{B}PQ}=\widehat{\textcolor{blue}{B}QP}=360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ} \) y así \( \dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{3}{\tan 60^{\circ}}\Longrightarrow \boxed{x=30^{\circ}} \)
Errata corregida Gracias petras

[cerrar]

Saludos

[petras]

 

Hola:

"Calcular \( x^o \) si \( P \) e \( Q \) são pontos de Brocard e \( AB = BC \)

(Gabarito: 30^o)
...

Si no me equivoco...

Spoiler

Si \( \omega \) es el ángulo de Brocard de \( P \) se tiene \( \dfrac{1}{\tan \omega}=\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}=\dfrac{1}{\tan 37^{\circ}}+\dfrac{1}{\tan 37^{\circ}}+\dfrac{1}{\tan 106^{\circ}}\Longrightarrow \omega\simeq 22,9^{\circ} \).
Así, como el ángulo de Brocard de \( Q \) es el mismo, y al ser \( \triangle{ABC} \) isósceles, se tiene
\( \widehat{APQ}=\widehat{BQP}=\dfrac{360^{\circ}-2\omega}{2}\simeq 157^{\circ} \) y como es \( \widehat{APC}=\widehat{BQC}=180^{\circ}-37^{\circ}=143^{\circ} \) se deduce que \( \widehat{CPQ}=\widehat{CQP}=360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ} \) y así \( \dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{3}{\tan 60^{\circ}}\Longrightarrow \boxed{x=30^{\circ}} \)

[cerrar]

Saludos

Agradecido

Saludos

[petras]

Hola:

"Calcular \( x^o \) si \( P \) e \( Q \) são pontos de Brocard e \( AB = BC \)

(Gabarito: 30^o)
...

Si no me equivoco...

Spoiler

Si \( \omega \) es el ángulo de Brocard de \( P \) se tiene \( \dfrac{1}{\tan \omega}=\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}=\dfrac{1}{\tan 37^{\circ}}+\dfrac{1}{\tan 37^{\circ}}+\dfrac{1}{\tan 106^{\circ}}\Longrightarrow \omega\simeq 22,9^{\circ} \).
Así, como el ángulo de Brocard de \( Q \) es el mismo, y al ser \( \triangle{ABC} \) isósceles, se tiene
\( \widehat{APQ}=\widehat{BQP}=\dfrac{360^{\circ}-2\omega}{2}\simeq 157^{\circ} \) y como es \( \widehat{APC}=\widehat{BQC}=180^{\circ}-37^{\circ}=143^{\circ} \) se deduce que \( \widehat{CPQ}=\widehat{CQP}=360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ} \) y así \( \dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{3}{\tan 60^{\circ}}\Longrightarrow \boxed{x=30^{\circ}} \)

[cerrar]

Saludos

No seria \( \angle BPQ = \angle BQP = 60^o  \)?

[ani_pascual]

Hola:

...

No seria \( \angle BPQ = \angle BQP = 60^o  \)?

Sí, es cierto; lo que pasa es que al resolverlo intercambié en mi dibujo los vértices \( B \) y \( C \), 
Saludos

[petras]

Hola:

...

No seria \( \angle BPQ = \angle BQP = 60^o  \)?

Sí, es cierto; lo que pasa es que al resolverlo intercambié en mi dibujo los vértices \( B \) y \( C \), 
Saludos

¿Cuál fue esa relación de la tangente que usó?

[ani_pascual]

Hola:

...
¿Cuál fue esa relación de la tangente que usó?

La vi en Wikipedia .
Allí aparece en función de la cotangente. Para ser sincero, yo no conocía este concepto de los puntos de Brocard de un triángulo...
Saludos