[Julio_fmat]

Sea \( \preceq \) la relación en \( \mathbb{N} \) definida por \( a\preceq b \iff a^2\mid b^2. \)

a) Demostrar que \( \preceq \) es una relación de orden en \( \mathbb{N}. \)

b) Determinar si \( \preceq \) sigue siendo de orden si la definimos de la misma forma, pero en \( \mathbb{Z}. \)

c) Dibujar el diagrama de Hasse de esta relación, definida sobre \( A=\{2,3,4,6,8,12,27\} \). ¿Es un orden total?


Hola, para que sea una relación de orden, debe ser reflexiva, antisimétrica y transitiva. Para b) se podría estudiar el caso \( a=0 \). Bueno, en realidad no estoy 100% seguro, porque la divisibilidad se cumple en general para los números enteros y sólo se exige que exista un entero que sea múltiplo, o sea, que divida al otro entero.

[Fernando Revilla]

Sea \( \preceq \) la relación en \( \mathbb{N} \) definida por \( a\preceq b \iff a^2\mid b^2. \)
a) Demostrar que \( \preceq \) es una relación de orden en \( \mathbb{N}. \)
b) Determinar si \( \preceq \) sigue siendo de orden si la definimos de la misma forma, pero en \( \mathbb{Z}. \)
c) Dibujar el diagrama de Hasse de esta relación, definida sobre \( A=\{2,3,4,6,8,12,27\} \). ¿Es un orden total?
Hola, para que sea una relación de orden, debe ser reflexiva, antisimétrica y transitiva. Para b) se podría estudiar el caso \( a=0 \). Bueno, en realidad no estoy 100% seguro, porque la divisibilidad se cumple en general para los números enteros y sólo se exige que exista un entero que sea múltiplo, o sea, que divida al otro entero.

Puntos clave: en \( \mathbb{Z} \) se verifica \( (-1)^2\mid 1^2 \) y \( 1 \mid (-1)^2 \) es decir, \( -1\preceq 1 \) y \( 1\preceq -1 \) y al ser \( -1\ne 1 \) la relación no es antisimétrica. En \( \mathbb{N} \) la relación de orden \( \preceq \) no es de orden total pues por ejemplo \(  2 \not\preceq 3 \) y \(  3 \not\preceq 2 \).