∡BAC=∡ABD=45∘−x,
\( ∡DBC=90∘+x,\\
∡BCA=x,\\
∡ACD=45^∘−2x,\\
∡BDC=45^∘\\
∡CAD=2x\\
T. Ceva Trigonométrico(ABCD) :
sin(45^∘−x)sinxsin45∘sin2x=sin(45^∘−x)sin(90^∘+x)sin(45^∘−2x)sin90^∘ \)
Lado Esquerdo (LE):
$$LE = \sin(45^\circ - x) \sin x \sin 45^\circ \sin 2x$$
\( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \sin(45^\circ - x) \sin x \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \sin 2x \)
Lado Direito (LD):
$$LD = \sin(45^\circ - x) \sin(90^\circ + x) \sin(45^\circ - 2x) \sin 90^\circ$$
\( sin(90^\circ + x) = \cos x ~e~ \sin 90^\circ = 1. \) Substituindo estes valores:
$$LD = \sin(45^\circ - x) (\cos x) \sin(45^\circ - 2x) $$
Igualando o Lado Esquerdo e o Lado Direito:
$$\sin(45^\circ - x) \sin x \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \sin 2x = \sin(45^\circ - x) \cos x \sin(45^\circ - 2x)$$
Se \( \sin(45^\circ - x) \neq 0 \), podemos dividir ambos os lados por \( \sin(45^\circ - x) \):
$$\sin x \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \sin 2x = \cos x \sin(45^\circ - 2x)$$
$$\sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x = \sin(45^\circ - 2x) \cos x$$
Lado Esquerdo (LE):
$$LE = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x (2 \sin x \cos x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \sin^2 x \cos x = \sqrt{2} \sin^2 x \cos x$$
Lado Direito (LD):
$$LD = (\sin 45^\circ \cos 2x - \cos 45^\circ \sin 2x) \cos x$$$$ = \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x\right) \cos x$$$$ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos 2x - \sin 2x) \cos x$$
Igualamos o Lado Esquerdo e o Lado Direito:
$$\sqrt{2} \sin^2 x \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos 2x - \sin 2x) \cos x$$
Se \( \cos x \neq 0 \), podemos dividir ambos os lados por cos x:
$$\sqrt{2} \sin^2 x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos 2x - \sin 2x)$$
Multiplicando ambos os lados por \( \sqrt{2} \):
$$2 \sin^2 x = \cos 2x - \sin 2x$$
cos2x = \( cos^2x-sin^2x \)
Portanto :
\( 3sin^2x+2sinxcosx−cos^2x=0 \implies (3sinx-cosx)(sinx+cosx) = 0\\
3sinx−cosx=0 \therefore
\cancel{tan x = -1}(x < 90^o )\\
tan x=\frac{1}{3} \therefore \boxed{x = \frac{37^o}{2}} \)
(Solução: Michael Rozenberg-adaptada)
