[petras]

Si \( AB = 2BC \) calcular \( xo \)

Spoiler

Gabarito: \( 38^o \)

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[ani_pascual]

Hola:

Si \( AB = 2BC \) calcular \( xo \)

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Gabarito: \( 38^o \)

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...

Un intento... 

Spoiler

Trazando una perpendicular a \( BC \) que pase por \( C \) y corte a \( AD \) en \( P \) y a \( BD \) en \( Q \), se tienen las semejanzas \( \triangle{BCQ}\sim\triangle{DPQ}\sim\triangle{CPD} \). Por tanto,
\( \dfrac{PQ}{PD}=\dfrac{CQ}{BC}=\dfrac{PD}{PC}=\dfrac{PD}{AB}=\dfrac{PQ+CQ}{PD+BC}=\dfrac{AB}{PD+\frac{AB}{2}} \).
En definitiva,
\( AB^2-\dfrac{PD\cdot AB}{2}-PD^2=0 \).
Dividiendo por \( PD^2 \) y tras resolver la ecuación de segundo grado...
\( \dfrac{AB}{PD}=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}\Longrightarrow PD=\dfrac{4AB}{1+\sqrt{17}} \) y así
\( \tan x=\dfrac{AB}{\frac{AB}{2}+PD}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}+\frac{4}{1+\sqrt{17}}}\Longrightarrow x=37,98^{\circ}\simeq 38^{\circ} \)

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Saludos

[petras]

Hola:

Si \( AB = 2BC \) calcular \( xo \)

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Gabarito: \( 38^o \)

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...

Un intento... 

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Trazando una perpendicular a \( BC \) que pase por \( C \) y corte a \( AD \) en \( P \) y a \( BD \) en \( Q \), se tienen las semejanzas \( \triangle{BCQ}\sim\triangle{DPQ}\sim\triangle{CPD} \). Por tanto,
\( \dfrac{PQ}{PD}=\dfrac{CQ}{BC}=\dfrac{PD}{PC}=\dfrac{PD}{AB}=\dfrac{PQ+CQ}{PD+BC}=\dfrac{AB}{PD+\frac{AB}{2}} \).
En definitiva,
\( AB^2-\dfrac{PD\cdot AB}{2}-PD^2=0 \).
Dividiendo por \( PD^2 \) y tras resolver la ecuación de segundo grado...
\( \dfrac{AB}{PD}=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}\Longrightarrow PD=\dfrac{4AB}{1+\sqrt{17}} \) y así
\( \tan x=\dfrac{AB}{\frac{AB}{2}+PD}=\dfrac{1}{\frac{1}{2}+\frac{4}{1+\sqrt{17}}}\Longrightarrow x=37,98^{\circ}\simeq 38^{\circ} \)

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Saludos

Agradecido, es una resolución pero aún creo que existe alguna construcción auxiliar para resolverlo... Intenté utilizando los ángulos \( BAC = 53/2^o \) y\(  BCA = 127/2^o  \) que son los ángulos aproximados que se utilizan normalmente en la geometría peruana pero no tuve éxito.

Saludos