Gracias por el interés tomado en mi problema, pero estoy un poco perdida. Con la definición de derivada puedo puedo llegar a entenderlo, pero me parece muy complicado. Hay alguna manera más fácil, sin aplicar la regla de la cadena o la definición de derivada.
Perdón por mi ignorancia.
La regla de la cadena es esencial para calcular derivadas, y es la herramienta que más facilita su cálculo. Usar la definición de derivada (la del límite) suele ser más complicado. Seguramente lo que te cueste sea diferenciar las diferentes funciones que componen una función más grande para poder aplicar la regla de la cadena, o cómo aplicar tal regla cuando hay más de dos funciones que componen una función más grande.
Un caso particular de la regla de la cadena es la regla del producto, que también debes conocer. Yo me esforzaría en entender bien la regla de la cadena, y la del producto, ya sea a través de ejemplos, libros o lo que sea, y luego ponerla poco a poco en práctica, porque son esas dos reglas a partir de las cuales se suelen calcular prácticamente todas las derivadas. Simbólicamente la regla de la cadena (cuando hay sólo dos funciones compuestas) es tan simple como \((f\circ g)'(x)=(f'\circ g)(x)\cdot g'(x)\) (el circulito es composición, es decir que escrbir \((f\circ g)(x)\) es lo mismo que escribir \(f(g(x))\), pero el circulito separa de manera mucho más clara las funciones que componen la función a derivar). Por ejemplo, si \(f\) es la función seno, y \(g\) es la función logaritmo natural, tienes que \((f\circ g)(x)=\operatorname{sen}(\ln(x))\), y por tanto que \((\operatorname{sen}(\ln (x))'=\operatorname{sen}'(\ln(x))\cdot \ln'(x)\). Como \(\ln'(x)=\frac1{x}\) y \(\operatorname{sen}'(x)=\cos (x)\) entonces te queda que
\[
(\operatorname{sen}(\ln(x)))'=\cos (\ln(x))\cdot \frac1{x}
\]
En la función del título de este tema es más complicado porque hay tres funciones compuestas formando la función a derivar, en vez de sólo dos, pero puedes aplicar la regla de la cadena recursivamente, es decir, si tomas ahora \(f(x)=\ln (x)\) y \(g(x)=\ln(\ln (x))\) entonces de la regla de la cadena tienes que
\[
(\ln(\ln(\ln(x)))'=(f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)=\frac1{g(x)}\cdot g'(x)
\]
ya que \(f'(x)=\frac1{x}\). Ahora para hallar \(g'\) vuelves a aplicar la regla de la cadena, observando que \(g(x)=f(f(x))\), y por tanto \(g'(x)=(f(f(x))'=f'(f(x))\cdot f'(x)=\frac1{\ln (x)}\cdot \frac1{x}\). Poniéndolo todo junto te queda que
\[
(\ln(\ln(\ln (x)))'=\frac1{\ln(\ln (x))}\cdot \frac1{\ln (x)}\cdot \frac1{x}
\]
Intenta practicar, busca vídeos de youtube o apuntes hasta que tengas más claro cómo se usa la regla de la cadena.
