[clopez]

Hola a todos. Pueden ayudarme con este problema: Sea \( A \) una matriz de orden \( n\times{n} \), con \( n \) autovalores reales distintos. ¿Qué condiciones sobre los autovalores se debe pedir para tener \( \displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}{}\left |{x(t)}\right |=\infty \) para cada solución de \( x^{\prime}=Ax \).
Si la matriz \( A \) tiene \( n \) autovalores reales distintos \( \lambda_1,\ldots,\lambda_n \) se cumple: \( A=BJB^{-1} \), donde \( J \) es una matriz de Jordan, tal que \( J=\textrm{diag}[\lambda_1,\ldots,\lambda_n] \). También: \( e^{tA}=Be^{tJ}B^{-1} \), entonces:

\( e^{tA}=B\textrm{ diag}[e^{t\lambda_1},\ldots,e^{t\lambda_n}] B^{-1} \)

La solución es de la forma: \( x^{\prime}=e^{tA}x_0 \), para algún \( x_0\in{\mathbb{R^{n}}} \). Me parece que la condición sobre los autovalores se puede relacionar con las exponenciales.

[ani_pascual]

Hola:

Hola a todos. Pueden ayudarme con este problema:
...
sobre los autovalores se puede relacionar con las exponenciales.

En efecto,
si la solución es de la forma \( x(t)=Pexp(tD)P^{-1}C=Pexp(tD)x_0=P\left(\begin{array}{c}x_{01}e^{\lambda_1t}\\\vdots\\x_{0n}e^{\lambda_nt}\end{array}\right) \) con \( x_0\textcolor{blue}{\neq 0}\in\mathbb{R}^n \),
ya que es
\(  A=PDP^{-1} \) siendo
\( D=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&0&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&\cdots&0&\lambda_n\end{array}\right) \),
parece que basta con que todos los autovalores reales distintos sea positivos.
Corregido Gracias Masacroso
Saludos

[Masacroso]

parece que basta con que alguno de los autovalores reales distintos sea positivo.

Eso haría que \(\lim_{t \to \infty }e^{tA}x_0\) para algún \(x_0\in \mathbb{R}^2\), pero no para cualquier \(x_0\). Para que se cumpla para cualquier \(x_0\neq 0\) es necesario y suficiente que todos los valores propios sean negativos positivos. Igualmente hay que observar que si tenemos la condición inicial \(x_0=0\) entonces tendríamos que la única solución a la EDO sería \(x(t)=0\) para todo \(t\), y en tal caso sería imposible que \(\lim_{t\to \infty }|x(t)|=\infty \).

Es decir, estrictamente hablando, no es posible que exista una condición en los valores propios de \(A\) que garantice que \(\lim_{t\to \infty }|x(t)|=\infty \) para cualquier solución \(x\) a la EDO \(x'=Ax\), ya que \(x=0\) es solución y no puede cumplir tal condición.

Corregido: gracias ani_pascual.

[ani_pascual]

Hola:

...
Eso haría que \(\lim_{t \to \infty }e^{tA}x_0\) para algún \(x_0\in \mathbb{R}^2\), pero no para cualquier \(x_0\). Para que se cumpla para cualquier \(x_0\neq 0\) es necesario y suficiente que todos los valores propios sean negativos. ...

¿Negativos o positivos?
Es cierto que en el caso \( x_0=0\in\mathbb{R}^n \) no es posible que \( \lim\limits_{t\to\infty}|x(t)|=\infty \)   
Saludos

[Masacroso]

Hola:

...
Eso haría que \(\lim_{t \to \infty }e^{tA}x_0\) para algún \(x_0\in \mathbb{R}^2\), pero no para cualquier \(x_0\). Para que se cumpla para cualquier \(x_0\neq 0\) es necesario y suficiente que todos los valores propios sean negativos. ...

¿Negativos o positivos?
Es cierto que en el caso \( x_0=0\in\mathbb{R}^n \) no es posible que \( \lim\limits_{t\to\infty}|x(t)|=\infty \)   
Saludos

Perdón, que me he despistado, positivos, tienen que ser positivos.

[clopez]

Gracias a todos. Tengo un problema similar: Sea \( A\in{\mathbb{R^{n\times{n}}}} \). Muestre que si \( A \) tiene un autovalor \( \lambda<0 \), entonces la EDO: \( x^{\prime}=Ax \) tiene al menos una solución no trivial, tal que:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x(t)}=0 \)

[ani_pascual]

Hola:

Gracias a todos. Tengo un problema similar: Sea \( A\in{\mathbb{R^{n\times{n}}}} \). Muestre que si \( A \) tiene un autovalor \( \lambda<0 \), entonces la EDO: \( x^{\prime}=Ax \) tiene al menos una solución no trivial, tal que:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x(t)}=0 \)

Si no me equivoco...
Como la solución del PVI
es \( x(t)=Pexp(tD)P^{-1}x_0 \) con \( y_0=P^{-1}x_0=\left(\begin{array}{c}y_{01}\\\vdots\\y_{0n}\end{array}\right)\neq 0\in\mathbb{R}^n \), basta elegir \( x_0=Pe_j^t\in\mathbb{R}^n \), suponiendo que el autovalor negativo es \( \lambda_j \), así la solución queda \( x(t)=P\left(\begin{array}{c}0\\\vdots\\0\\e^{\lambda_jt}\\0\\\vdots\\0\end{array}\right) \) con lo que \( \lim\limits_{t\to\infty}|x(t)|=0 \)
Saludos

[clopez]

Muchas gracias a todos.