Hola
Sea \( h \) la homografía de la recta proyectiva \( \Bbb P(\Bbb R^2) \) que
verifica \( h(a) = a \), \( h(b) = c \), \( h(c) = d \), donde \( a = (1 : 1) \), \( b = (0 : 1) \), \( c = (-1 : 1) \),
\( d = (1 : 0) \), en coordenadas homogéneas respecto de una referencia proyectiva \( R \).
Determinar:
a) La matriz de \( h \) respecto la referencia proyectiva \( R \).
b) La matriz de la transformación afín \( f : X\to X \), obtenida por la restricción de \( h \) a la recta afín \( X = \Bbb P(\Bbb R^2)-\{a\} \) respecto el sistema de referencia cartesiano \( \{b; \overrightarrow{bc}\} \).
La parte a) no es difícil. La matriz buscada es
\( \begin{pmatrix}3&-1\\ 1&\hfill 1\\\end{pmatrix} \)
En eso coincido con la solución dada por la UNED.
La dificultad me surge con la parte b) del ejercicio. ¿Qué significa restringir la recta afín a \( X = \Bbb P(\Bbb R^2)-\{a\} \)? ¿Y qué es el sistema de referencia cartesiano referido a un punto y un vector? Adjunto el problema con la solución de la UNED. Tampoco sé por qué el espacio afín \( X \) (o sea, la recta) es isomorfa a \( x_1-x_2=1 \).
Agradezco cualquier aclaración. Muchas gracias por adelantado.
1) Intentaré resumir la idea. Después si especificas las dudas, puedo ampliar un poco.
En general si al espacio proyectivo \( n \) dimensional \( \Bbb P^m=\Bbb P(\Bbb R^{n+1}) \) le retiramos un hiperplano definido por una ecuación lineal \( a_1x_2+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=0 \), resulta un espacio afín. El caso quizá más fácil de visualizar es retirar al plano proyectivo \( \Bbb P(\Bbb R^3) \) el plano \( z=0 \), obteniendo un plano afín.
Lo puedes visualizar aquí. Los puntos del plano proyectivo se representa por rectas que pasan por el origen. Si nos olvidamos de las rectas contenidas en \( z=0 \) totas las demás cortan a un plano situado en \( z=1 \) que es un plano afín. A cada recta (punto del plano proyectivo) que pasa por el origen y no es paralela a \( z=0 \) le corresponde un único punto del plano afín \( z=1 \) y viceversa.
Eso equivale a, en las coordenadas homogéneas \( [x:y:z] \) quedarnos con un múltiplo con la tercera coordenada igual a \( 1 \), es decir, \( [x/z:y/z:1] \).
https://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/afinampliado.htmlEn general cuando retiramos el hiperplano de ecuación \( a_1x_2+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=0 \), de cada punto con coordenadas homogéneas \( [x_1:x_2:\ldots:x_n] \) nos quedamos con el múltiplo cuyas coordenadas cumplen \( a_1x_2+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=1 \).
2) Por otra parte y ya hablando de espacios afines. Una referencia afín está dada por un punto (el origen) y una base. Por eso una referencia de una recta afín está dada por un punto y un sólo vector (una base de un espacio de dimensión uno). Las referencias afines y el significado de coordenadas respecto a una referencia afín puedes repasarlo aquí:
3) La expresión matricial de una transformación afín respecto a una referencia es:
\( f\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\\\end{pmatrix}+M\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\\end{pmatrix} \)
donde \( M \) es una matriz \( m\times m \), o usando una sola matriz:
\( f\begin{pmatrix}1\\x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}1\\x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\\end{pmatrix} \)
donde \( A \) es una matriz cuya primera columna es \( \begin{pmatrix}1\\b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\\\end{pmatrix} \) y las restantes una primera fila de ceros y debajo la matriz \( M \).
Con todo esto revisa la solución del PDF de nuevo. Si sigues teniendo dudas vuelve a preguntar.
Saludos.
