[Nub]

Hola, tengo entendido que en varias variables cuando hacemos el límite nos acercamos por bolas, bolas reducidas en el punto que nos queremos acercar, tengo una duda con esto, en las funciones partidas

Ejemplo: Ver donde es continua la función
\( f(x,y) =
\begin{cases}
\frac{x}{y} & \text{si } y \neq 0 \\
0 & \text{si } y = 0
\end{cases} \)

Aca un dibujo del dominio


La parte roja es donde se da \( x/y \), la parte azul es donde se da \( 0 \)

Si tomo el punto verde, puedo encontrar una bola que quede totalmente incluida en la parte roja, entonces dentro de esa bola \( f(x,y)=x/y \) y esta funcion es cociente de continuas y no se anula el denominador entonces es continua

Por ahora f es continua en los puntos \( (x,y) \) con \( y\neq0 \)

Ahora tengo que ver que pasa en los putos \( (x,y) \) con \( y=0 \) es decir el eje \( X \), tomo el punto violeta \( (x_o,0) \) y una bola, para ver que sea continua tengo que ver si se cumple que \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{f=f(x_0,0)} \)

La pregunta es la siguiente, ¿Que funcion va en ese limite, osea f es igual a...? ¿\( x/y \)? ¿\( 0 \)? porque la pregunta, porque mirar la imagen que hice, la parte amarilla es \( x/y \) pero que pasa con el eje azul que esta dentro de la bola

[Juan Pablo Sancho]

Con todo lo que hiciste lo tienes, en eje azul (eje abscisas o horizontal) la función vale cero y fuera del eje vale \( x/y \).
Toma el punto \( (0,0)  \) entonces \( f(0,0) = 0 \) y mira \( \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x,x) \) luego no es continua y para lo que buscas (el límite) acercate por el eje horizontal a ese punto.
Si \( x_0 \neq 0  \) tienes que \( f(x_0,0) = 0 \) toma \( \displaystyle \lim_{y \to 0} f(x_0,y)  \) lo mismo que lo anterior pero ahora un límite es cero y el otro tiene a infinito.

[Nub]

Con todo lo que hiciste lo tienes, en eje azul (eje abscisas o horizontal) la función vale cero y fuera del eje vale \( x/y \).
Toma el punto \( (0,0)  \) entonces \( f(0,0) = 0 \) y mira \( \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x,x) \) luego no es continua y para lo que buscas (el límite) acercate por el eje horizontal a ese punto.
Si \( x_0 \neq 0  \) tienes que \( f(x_0,0) = 0 \) toma \( \displaystyle \lim_{y \to 0} f(x_0,y)  \) lo mismo que lo anterior pero ahora un límite es cero y el otro tiene a infinito.

No entendí tanto, creo que hiciste un especie de límite direccional, no se, aun así mi pregunta no era esa, mi pregunta era que es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{f=...} \) es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{0} \) o \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{x/y} \)

[ani_pascual]

Hola:

...
mi pregunta era ¿qué
es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_0,0)}}{f=...} \) ?¿es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{0} \) o \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{x/y} \)?

Pues depende de cómo sea \( y \). 
Si es \( y=0 \) es \( f(x,y)=0 \), si es \( y\neq 0 \) será \( f(x,y)=\dfrac{x}{y} \)
Saludos

[Nub]

Hola:

...
mi pregunta era ¿qué
es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_0,0)}}{f=...} \) ?¿es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{0} \) o \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{x/y} \)?

Pues depende de cómo sea \( y \). 
Si es \( y=0 \) es \( f(x,y)=0 \), si es \( y\neq 0 \) será \( f(x,y)=\dfrac{x}{y} \)
Saludos

Tiene sentido, seria como acercarnos por puntos de la bola pero con \( y \) distinto de 0 y luego lo mismo pero con \( y=0 \) Esto no sería un limite direccional... entonces si ambos límites coinciden existe y es ese número (cosa que en este ejemplo no, pero digo para usar con otros ) Lo digo porque los límites direccionales aunque sean todos iguales no puedo afirmar su existencia, pero esto creo yo que es un límite acercándonos por bolas pero por ciertos puntos y cubriendo todo en 2 casos

[Masacroso]

Te puede servir el siguiente teorema Nub para ver si un límite funcional existe o no: sea \(f:A\to B\) y tanto \(A\) como \(B\) espacios métricos, entonces \(\lim_{x\to x_0}f(x)=L\) si y solo si \(\lim_{n\to \infty }f(x_n)=L\) para toda sucesión \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) que converja a \(x_0\) y sea eventualmente distinta a \(x_0\) (esto último quiere decir que sean sucesiones para las cuales exista un \(N\in \mathbb{N}\) tal que \(x_n\neq x_0\) para todo \(n\geqslant N\)).

La demostración de este teorema no es difícil, y su principal aplicación es demostrar que un determinado límite funcional no existe.

[delmar]

Hola

Con todo lo que hiciste lo tienes, en eje azul (eje abscisas o horizontal) la función vale cero y fuera del eje vale \( x/y \).
Toma el punto \( (0,0)  \) entonces \( f(0,0) = 0 \) y mira \( \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x,x) \) luego no es continua y para lo que buscas (el límite) acercate por el eje horizontal a ese punto.
Si \( x_0 \neq 0  \) tienes que \( f(x_0,0) = 0 \) toma \( \displaystyle \lim_{y \to 0} f(x_0,y)  \) lo mismo que lo anterior pero ahora un límite es cero y el otro tiene a infinito.

No entendi tanto, creo que hiciste un especie de limite direccional, no se, aun asi mi pregunta no era esa, mi pregunta era que es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{f=...} \) es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{0} \) o \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{x/y} \)

En lo concreto, lo que se ha de poner es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{f(x,y)} \) en este caso f(x,y) no lo constituye una expresión particular, claramente depende de y.

Saludos.

[Nub]

Hola

Con todo lo que hiciste lo tienes, en eje azul (eje abscisas o horizontal) la función vale cero y fuera del eje vale \( x/y \).
Toma el punto \( (0,0)  \) entonces \( f(0,0) = 0 \) y mira \( \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x,x) \) luego no es continua y para lo que buscas (el límite) acercate por el eje horizontal a ese punto.
Si \( x_0 \neq 0  \) tienes que \( f(x_0,0) = 0 \) toma \( \displaystyle \lim_{y \to 0} f(x_0,y)  \) lo mismo que lo anterior pero ahora un límite es cero y el otro tiene a infinito.

No entendi tanto, creo que hiciste un especie de limite direccional, no se, aun asi mi pregunta no era esa, mi pregunta era que es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{f=...} \) es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{0} \) o \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{x/y} \)

En lo concreto, lo que se ha de poner es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{f(x,y)} \) en este caso f(x,y) no lo constituye una expresión particular, claramente depende de y.

Saludos.

Practicamente lo que decia ani_pascual no? \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{f} \) es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{0}=0 \) si \( y=0 \) o es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{f=x/y}=\infty \) si \( y\neq0 \) entonces el limite no existe.

PD: Supongo que si los dos daban iguales si existia el limite

[Nub]

Hola

Con todo lo que hiciste lo tienes, en eje azul (eje abscisas o horizontal) la función vale cero y fuera del eje vale \( x/y \).
Toma el punto \( (0,0)  \) entonces \( f(0,0) = 0 \) y mira \( \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x,x) \) luego no es continua y para lo que buscas (el límite) acercate por el eje horizontal a ese punto.
Si \( x_0 \neq 0  \) tienes que \( f(x_0,0) = 0 \) toma \( \displaystyle \lim_{y \to 0} f(x_0,y)  \) lo mismo que lo anterior pero ahora un límite es cero y el otro tiene a infinito.

No entendi tanto, creo que hiciste un especie de limite direccional, no se, aun asi mi pregunta no era esa, mi pregunta era que es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{f=...} \) es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{0} \) o \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{x/y} \)

En lo concreto, lo que se ha de poner es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{f(x,y)} \) en este caso f(x,y) no lo constituye una expresión particular, claramente depende de y.

Saludos.

Practicamente lo que decia ani_pascual no? \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{f} \) es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{0}=0 \) si \( y=0 \) o es \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(x_o,0)}}{f=x/y}=\infty \) si \( y\neq0 \) entonces el limite no existe.

PD: Supongo que si los dos daban iguales si existia el limite

Preguntaba esto porque acabo de hacer un ejercicio que se hacia por "semibolas" osea si de una semibola daba limite \( a \) y de la otra semibola daba limite \( a \) luego el limite en la bola completa daba \( a \) Pero en este caso no es semi bola