Quizás sea mejor razonarlo un poco al revés; es decir, por el teorema de Tales se tiene que tras trazar una paralela a \( BC \) pasando por \( Q \) y que corte a \( AB \) en \( J \), se deduce que \( \dfrac{BJ}{JM}=\dfrac{CQ}{QP}=1 \), de donde \( BJ=JM \) y así es \( J \) punto medio de \( BM \) y \( JQ \) mediatriz de \( BM \) en el triángulo \( \triangle{BQM} \), que resulta isósceles.
Ahora trazando una paralela a \( BM \) pasandp por \( D \), y otra paralela a \( BC \) pasando por \( P \) y llamando \( U \) a su punto de corte, se obtiene el rectángulo \( PUCW \), siendo \( W \) el punto de corte entre \( BC \) y la prolongación de \( PH \). Como sus diagonales \( WU \) y \( CP \) se cortan en el punto medio, ha de ser \( WU\cap CP=Q \). Ahora \( \triangle{DQU}\equiv\triangle{SQW} \), siendp \( S \) el punto de corte entre \( BD \) y la prolongación de \( PH \). En definitiva, \( SQ=QD \) con lo que, por el teorema de Tales, \( SL=HL \) y así, \( \triangle{SQH} \) es isósceles y además \( \triangle{SQH}\sim\triangle{BQM} \) de donde \( M,H,Q \) están alineados y se concluye que \( \widehat{MHQ}=180^{\circ} \)
