Hola.
Efectivamente tienes razón, es un error mío, donde dije
\( n^3=(S_n^1)^2−(S_n^1)^2 \)
digo
\( n^3=(S_n^1)^2−(S_{n-1}^1)^2 \).
Saludos.
Hola, en principio no. Para crear este tipo de descomposiciones puedes usar el siguiente método:
Tomas el cubo que quieras descomponer, $$a^3$$, como $$6^3=216$$, despliegas sus factores$$6^3=2·2·2·3·3·3$$ y divides esta serie de factores en dos subseries, $$x_1> x_2$$ a voluntad (ambas deben ser copares); por ejemplo:
$$x_1=2·2·3·3=36$$
$$x_2=2·3=6$$
Entonces, das valor a las variables b y c del sigueinte modo:
$$b=\displaystyle\frac{x_1-x_2}{2}$$, y finalmente elvebas b al cuadrado.
$$c=\displaystyle\frac{x_1+x_2}{2}$$, y finalmente elvebas c al cuadrado.
$$b=\displaystyle\frac{36-6}{2}=15$$, de modo que $$b^2=15^2$$
$$c=\displaystyle\frac{36+6}{2}=21$$, de modo que $$c^2=21^2$$
Y entonces tienes que $$a^3=c^2-b^2$$, en este caso.
$$6^3=21^2-15^2$$
Luego, para el mismo $$a^3=6^3$$ buscas otros valores $$x_1>x_2$$:
$$x_1=3·3·3·2=54$$
$$x_2=2·2=4$$
Entonces, das valor a las variables b y c
$$b=\displaystyle\frac{54-4}{2}=25$$, de modo que $$b^2=25^2$$
$$c=\displaystyle\frac{54+4}{2}=29$$, de modo que $$c^2=29^2$$
Y entonces ya tienes otra forma de descomponer $$6^3$$:
$$6^3=29^2-25^2$$
Un saludo
Nota: veo que ya Luís te había respondido
