Hola, tengo un problema resolviendo este ejercicio:
Prueba que toda solución de la ecuación diferencial
\begin{equation}
\ddot{x} + \mu (x^2 - 1) \dot{x} + x = 0,
\end{equation}
\begin{equation}
\text{con } \mu > 0, \text{ está definida (al menos) en } [0, +\infty).
\end{equation}
Ayuda: Convierte a sistema de primer orden con las variables
\begin{equation}
x_1 = x, \quad x_2 = \dot{x},
\end{equation}
y considera la derivada de
\begin{equation}
D(t) = x_1(t)^2 + x_2(t)^2.
\end{equation}
(i.e. de la distancia al origen elevada al cuadrado).
Utilizandio la desigualdad de Grönwall he llegado a
\begin{equation}
D(t) \leq D(t_0) e^{2\mu (t - t_0)},
\end{equation}
Viendo otros ejercicios resueltos parece que hay que definir
\begin{equation}
d(t) = \sqrt {x_1^2+x_2^2}
\end{equation}
\begin{equation}
d(t) \leq d(t_0) e^{\mu (t - t_0)}
\end{equation}
Después decir que si
estuviera definida hasta T entonces
\begin{equation}
(t_0,x_1(t),x_2(t))\in[0,T]\times\bar{B}((0,0),\sqrt {x_1^2+x_2^2}e^{T-t_0})
\end{equation}
eso implicaría que la solución es prolongable (¿por estar dentro de un compacto?) y por tanto contradicción.
No entiendo bien que relación hay entre la d esté definido en [0, +inf] y que la solución esté definida en [0,+inf]
