Hola
Si tengo dos vectores aleatorios $$X = (X_1, \dots, X_n) $$ e $$ Y = (Y_1, \dots, Y_m)$$ que son independientes,
¿es una condición necesaria y suficiente que cualquier subcolección de las $$ X_i $$'s y $$ Y_j $$'s sea independiente?
Son independientes si:
\( P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B) \) para todo par \( A,B \) de conjuntos borelianos
En términos de función de densidad si son continuas:
\( f_{(X,Y)}(x_1,x_2,\dots,x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)=f_X(x_1,x_2,\ldots,x_n)f_Y(y_1,y_2,\ldots,y_m) \)
En otras palabras, ¿cómo se expresa esta independencia en términos de las entradas individuales de los vectores?
¡Muchas gracias de antemano por su ayuda!
Si son independientes, entonces cada \( X_i \) es independiente de cada \( Y_j \) pero no necesariamente al revés.
Por ejemplo considera:
\( P((X_1,X_2,Y)=(0,0,0))=P((X_1,X_2,Y)=(1,1,0))=P((X_1,X_2,Y)=(0,1,1))=P((X_1,X_2,Y)=(1,0,1))=\dfrac{1}{4} \)
Comprueba que \( X_1 \) e \( Y \) son independientes; también \( X_2 \) e \( Y \), pero no \( (X_1,X_2) \) e \( Y \).
Saludos.
