[S.S]

Hola a todos, me gustaría ver si alguien me puede ayudar con lo siguiente: Me gustaría ver si existe alguna forma de determinar el valor de raices de la siguiente ecuación para cada \( k \in \mathbb{Z} \), la ecuación es \( A \cos(2 u) + B \cos (2k u) \) donde \( u \in [0,2\pi) \). De antemano muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola a todos, me gustaría ver si alguien me puede ayudar con lo siguiente: Me gustaría ver si existe alguna forma de determinar el valor de raices de la siguiente ecuación para cada \( k \in \mathbb{Z} \), la ecuación es \( A \cos(2 u) + B \cos (2k u) \) donde \( u \in [0,2\pi) \). De antemano muchas gracias.

¿En qué contexto surge el problema? ¿Hay alguna información adicional para \( A,B \)?

\( cos(2ku) \) puede expresarse como un polinomio \( p_k(x) \) de grado \( k \) con variable \( cos(2u) \) (de hecho son los polinomios de Chebyshev)

Por tanto tu ecuación corresponde a una polinómica de grado \( k \) de la forma:

\( Bp_k(x)+Ax=0 \)

no es esperable que pueda darse una expresión explícita para su solución para cualesquiera \( A,B \).

Saludos.

[S.S]

Hola Luis. Gracias por la respuesta.

Los coeficientes \( A \) y \( B \) son números reales arbitrarios, ¿de dónde viene el problema? No creo que influya mucho en la respuesta pero surge de estudiar un sistema de ecuaciones y usar la función promediada que dejo en este link   https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_averaging.   

Me he dado una vuelta por el tema que mencionaste  (Polinómios de Chebyshev) y según el texto de este link https://repositorio-aberto.up.pt/bitstream/10216/117371/2/302423.pdf Proposición 1.1.4 página 13, se dice que el polinómio de Chebyshev \( p_{n}(x) \) tiene exactamente \( n \) raíces, contrario a lo que en principio uno pensaría usando el teorema fundamental del álgebra (a lo mas \( n \) raíces).

Así las cosas; la duda que me queda es la siguiente: si suponemos  \( A=0 \), pues entonces tengo \( n \) raíces. Pero si  \( A\neq 0 \)   quisiera decir lo mismo pero no estoy seguro de si la suma de la expresión \( Ax \) me vaya afectar el número de raíces. ¿Puedo decir que tiene \( n \) raíces la expresion \( Bp_{k}(x)+Ax=0 \) ?

Muchas gracias de nuevo.

[Luis Fuentes]

Hola

Me he dado una vuelta por el tema que mencionaste  (Polinómios de Chebyshev) y según el texto de este link https://repositorio-aberto.up.pt/bitstream/10216/117371/2/302423.pdf Proposición 1.1.4 página 13, se dice que el polinómio de Chebyshev \( p_{n}(x) \) tiene exactamente \( n \) raíces, contrario a lo que en principio uno pensaría usando el teorema fundamental del álgebra (a lo mas \( n \) raíces).

Pero no hay nada "contrario" al Teorema Fundamental del Álgebra en ese fenómeno. Tal teorema dice que un polinomio de grado \( n \) tiene como máximo \( n \) raíces; hay algunos polinomios que alcanzan ese número máximo de raíces y otros no. No hay nada particular en eso.

¿Puedo decir que tiene \( n \) raíces la expresion \( Bp_{k}(x)+Ax=0 \) ?

No. Fíjate que la ecuación puede escribirse así:

\( p_k(x)+tx=0 \) con \( t=A/B \).

Dependiendo del valor de \( t \) el polinomio podría tener \( n \) raíces o en el peor de los casos \( 1 \). Puedes visualizarlo en este gráfico donde se permite modificar los valores de \( k \) y \( t \). En verde está representado \( p_k(x) \) y en azul \( p_k(x)+tx \). Todo ello en el intervalo \( [-1,1] \) que es el que interesa ya que \( cos(\alpha)\in [-1,1] \).


Saludos.

[S.S]

Hola Luis. Gracias por la respuesta.

Me surgen dos preguntas: \(  \)

1. Los polinómios de Chebyshev estan definidos en \( [0,\pi] \) y con lo que hemos hablado ellos pueden tener  \( n \) raíces. El problema que estamos discutiendo esta definido en \( [0,2\pi] \), luego ¿Puedo decir entonces que en este inervalo tengo \( 2n \) raíces o solo tengo \( n \) solo que estan repetidas?
2.¿Cómo puedo probar que para ciertos valores de \( t \) tengo \( n \) raíces?  Me puedes dar una pista para probar que para ciertos valores de  \( t \) el polinómio tiene \( n \) raíces.

De nuevo muchas gracias.