[petras]

En el trapezoide ABCD,\(  AM = MC = BN = ND = 4; \)
Calcular MN.

Spoiler

Gabarito: 4

[cerrar]

[ani_pascual]

Hola:

En el trapezoide ABCD,\(  AM = MC = BN = ND = 4; \)
Calcular MN.

Spoiler

Gabarito: 4

[cerrar]

,,,

A falta de una idea feliz, se me ha ocurrido un método que creo que puede conducir al cálculo del segmento \( MN \), si bien, aún no me he puesto a hacer las farragosas cuentas...

Spoiler

Si llamamos \( O \) al punto de corte de las diagonales del trapezoide, \( x=MO,y=NO \), se puede aplicar el teorema del coseno en el triángulo \( \triangle{MON} \) y quedaría \( MN^2=\cdots =x^2+y^2+xy \).
Ahora, ayudándonos de unos triángulos equiláteros auxiliares y aplicando también el teorema del seno se pueden hallar \( x \) e \( y \), y finamente \( MN \).
Dejo una figura y cuando tenga tiempo intentaré finalizar ...

[cerrar]

Olvidé ponerlo en spoiler 
Intento fallido 
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Una solución (no muy elegante  )

Spoiler

En el triángulo \( OMN \) por el Teorema del Coseno:

 \( MN^2=x^2+y^2-2xycos(120^o)=x^2+y^2+xy \)

 Por otra parte en el triángulo \( OCD \) por el teorema de los senos:

 \( \dfrac{sin(60+\theta)}{sin(\theta)}=\dfrac{OD}{OC} \)

\( \dfrac{sin(60)cos(\theta)+cos(60)sin(\theta)}{sin(\theta)}=\dfrac{4+y}{4-x} \)

\( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{1}{tan(\theta)}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4+y}{4-x} \)

\( tan(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}(4-x)}{2y+x+4} \) (*)

 Y en el triángulo \( AOB \) por el teorema de los senos:

 \( \dfrac{sin(30-\theta)}{sin(\theta(90-\theta))}=\dfrac{OB}{OA} \)

\( \dfrac{sin(30)cos(\theta)-cos(30)sin(\theta)}{cos(\theta)}=\dfrac{4-y}{4+x} \)

\( \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}tan(\theta)=\dfrac{4-y}{4+x} \)

\( tan(\theta)=\dfrac{2y+x-4}{\sqrt{3}(4+x)} \) (**)

Igualando (*) y (**) multiplicando en cruz:

\( (2y+x)^2-16=3(16-x^2) \)
\( 4y^2+2x^2+4xy-16=48-3x^2 \)
\( 4x^2+4y^2+4xy=64 \)
\( 16=x^2+y^2+xy=MN^2\quad \Rightarrow{}\quad MN=4 \)

[cerrar]

Saludos.

[Pie]

Si se pudiera demostrar que \( \widehat{NMC} = 2\theta \) saldría bastante rápido, ya que \( \widehat{MCD} = 120^o - \theta \) y \( CM = ND \), por lo que se podría aplicar el lema del cuadrilátero cóncavo para concluir que \( MN = CM = ND  \).

Pero de momento no veo forma de demostrar eso (si es que de puede )..

Saludos.

[petras]

Hola

 Una solución (no muy elegante  )

Spoiler

En el triángulo \( OMN \) por el Teorema del Coseno:

 \( MN^2=x^2+y^2-2xycos(120^o)=x^2+y^2+xy \)

 Por otra parte en el triángulo \( OCD \) por el teorema de los senos:

 \( \dfrac{sin(60+\theta)}{sin(\theta)}=\dfrac{OD}{OC} \)

\( \dfrac{sin(60)cos(\theta)+cos(60)sin(\theta)}{sin(\theta)}=\dfrac{4+y}{4-x} \)

\( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{1}{tan(\theta)}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4+y}{4-x} \)

\( tan(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}(4-x)}{2y+x+4} \) (*)

 Y en el triángulo \( AOB \) por el teorema de los senos:

 \( \dfrac{sin(30-\theta)}{sin(\theta(90-\theta))}=\dfrac{OB}{OA} \)

\( \dfrac{sin(30)cos(\theta)-cos(30)sin(\theta)}{cos(\theta)}=\dfrac{4-y}{4+x} \)

\( \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}tan(\theta)=\dfrac{4-y}{4+x} \)

\( tan(\theta)=\dfrac{2y+x-4}{\sqrt{3}(4+x)} \) (**)

Igualando (*) y (**) multiplicando en cruz:

\( (2y+x)^2-16=3(16-x^2) \)
\( 4y^2+2x^2+4xy-16=48-3x^2 \)
\( 4x^2+4y^2+4xy=64 \)
\( 16=x^2+y^2+xy=MN^2\quad \Rightarrow{}\quad MN=4 \)

[cerrar]

Saludos.

Agradecido

[ani_pascual]

Hola:

...
Agradecido

He repasado los cálculos y, en efecto, llego a que

Spoiler

\( x=MO=0 \), \( y=NO=4 \) luego \( MN^2=x^2+y^2+xy=16\Longrightarrow \boxed{MN=4} \)
Por el teorema del coseno en \( \triangle{AOE} \) se tiene \( \dfrac{4-x}{\sin\widehat{OAE}}=\dfrac{4+x}{\sin\widehat{OEA}}=\dfrac{AE}{\sin 120^{\circ}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sin 120^{\circ}} \) ya que \( AE=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3} \). Y como es \( \widehat{OAE}+\widehat{OEA}=60^{\circ} \) se deduce que \( \widehat{OAE}=\widehat{OEA}=30^{\circ}\Longrightarrow x=0 \).
Por otra parte, aplicando el teorema del seno en \( \triangle{ABO} \) es \( \dfrac{4-y}{\sin(30^{\circ}-\theta)}=\dfrac{4+x}{\sin(90^{\circ}+\theta)} \) y aplicándolo en \( \triangle{CDE} \) resulta \( \dfrac{4-x}{\sin\theta}=\dfrac{x+y}{\sin(60^{\circ}-\theta)} \) de donde, tras operar ... y teniendo en cuenta que es \( x=0 \)  se llega a \( \theta=30^{\circ} \) e \( y=4 \)

[cerrar]

Saludos

[petras]

Hola:

...
Agradecido

He repasado los cálculos y, en efecto, llego a que

Spoiler

\( x=MO=0 \), \( y=NO=4 \) luego \( MN^2=x^2+y^2+xy=16\Longrightarrow \boxed{MN=4} \)
Por el teorema del coseno en \( \triangle{AOE} \) se tiene \( \dfrac{4-x}{\sin\widehat{OAE}}=\dfrac{4+x}{\sin\widehat{OEA}}=\dfrac{AE}{\sin 120^{\circ}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sin 120^{\circ}} \) ya que \( AE=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3} \). Y como es \( \widehat{OAE}+\widehat{OEA}=60^{\circ} \) se deduce que \( \widehat{OAE}=\widehat{OEA}=30^{\circ}\Longrightarrow x=0 \).
Por otra parte, aplicando el teorema del seno en \( \triangle{ABO} \) es \( \dfrac{4-y}{\sin(30^{\circ}-\theta)}=\dfrac{4+x}{\sin(90^{\circ}+\theta)} \) y aplicándolo en \( \triangle{CDE} \) resulta \( \dfrac{4-x}{\sin\theta}=\dfrac{x+y}{\sin(60^{\circ}-\theta)} \) de donde, tras operar ... y teniendo en cuenta que es \( x=0 \)  se llega a \( \theta=30^{\circ} \) e \( y=4 \)

[cerrar]

Saludos

Agradecido. Pero creo que todavía hay una solución utilizando líneas auxiliares.
Sauldos

[ani_pascual]

Hola:

...
Pero creo que todavía hay una solución utilizando líneas auxiliares.
...

Esa se la dejaremos a Pie...
¡Por cierto, es el primer  cuadrilátero de tres lados que he visto ...
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

He repasado los cálculos y, en efecto, llego a que

Empecé a leer el spoiler y....

\( x=MO=0 \), \( y=NO=4 \) luego \( MN^2=x^2+y^2+xy=16\Longrightarrow \boxed{MN=4} \)

¡Imposible qué esté bien!. Es falso que de los datos del enunciado se deduzca que \( MN=0 \). La construcción del enunciado es compatible con cualquier ángulo \( \theta\in (0,30^o) \) y las longitudes de \( MO,NO \) varían, aunque \( MN \) se mantiene constante.

Me sorprende un poco que afirmes esto porque en el dibujo que puse fuera del Spoiler y que está hecho con las dimensiones del enunciado, ya se ve que el resultado al que llegas no se cumple. De hecho puse un deslizador para poder modificar el ángulo:

Una solución (no muy elegante  )

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...

¡Imposible qué esté bien!. Es falso que de los datos del enunciado se deduzca que \( MN=0 \). La construcción del enunciado es compatible con cualquier ángulo \( \theta\in (0,30^o) \) y las longitudes de \( MO,NO \) varían, aunque \( MN \) se mantiene constante.
...

Gracias por el vistazo y la corrección, Lo volveré a repasar, para ver si encuentro el gazapo 
Saludos