[zorropardo]

Calcular: $$ \displaystyle\lim_{x \to 0 }{ \Big(  \frac{1}{\mbox{ sen}^2 ( x)} -\frac{1}{x^2}  \Big) } $$

Intenté, aplicando LHopital , pero es muy largo y no conseguí, será que existe otra forma     .

[Juan Pablo Sancho]

Una forma:
\( \displaystyle \dfrac{1}{\sen^2(x)} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2-\sen^2(x)}{x^2 \cdot \sen^2(x)}  \)
En el numerador usa que \( \sen(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + O(x^4)  \)
Taylor
Editado
Otra forma si quieres utilizar L'Hopital:
\( \dfrac{x^2-\sen^2(x)}{x^2 \cdot \sen^2(x)} = \dfrac{x^2-\sen^2(x)}{x^2 \cdot x^2} \cdot \dfrac{x^2}{\sen^2(x)}  \)
Sólo te queda calcular ahora \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2-\sen^2(x)}{x^4}  \)
Sabiendo que \( \displaystyle \lim_{u \to 0} \dfrac{1-\cos(u)}{0.5 \cdot u^2} = 1  \) y \( \cos^2(x) - \sen^2(x) = \cos(2x)  \)

[Luis Fuentes]

Hola

Calcular: $$ \displaystyle\lim_{x \to 0 }{ \Big(  \frac{1}{\mbox{ sen}^2 ( x)} -\frac{1}{x^2}  \Big) } $$

Intenté, aplicando LHopital , pero es muy largo y no conseguí, será que existe otra forma     .

Otra forma (muy parecida al segundo camino de Juan Pablo). Usando que suma por diferencia es diferencia de cuadrados.

\( \dfrac{x^2-sin^2(x)}{x^2sin^2(x)}=\dfrac{x^2}{sin^2(x)}\cdot \dfrac{x-sin(x)}{x^3}\cdot \dfrac{x+sin(x)}{x} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{x^2}{sin^2(x)}=\left(\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{x}{sin(x)}\right)^2=1^2=1 \)

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{x-sin(x)}{x^3}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{1-cos(x)}{3x^2}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{sin(x)}{6x}=\dfrac{1}{6} \)

(aquí he usado L¡Hopital dos veces)

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{x+sin(x)}{x}=1+\displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{sin(x)}{x}=1+1=2 \)

El límite quedaría:

\( 1\cdot \dfrac{1}{6}\cdot 2=\dfrac{1}{3} \)

Saludos.

[zorropardo]

Genial, muy agradecido.