[anartesi]

Hola, tengo un ejercicio en el que me piden probar que dos intervalos son equipotentes, supongo que son reales.

$$[0;1]$$ y $$[0;1)$$

Recuerdo de cuando estudié topología (hace mucho), que buscábamos una función biyectiva de un intervalo en el otro.
Estoy leyendo en un foro que usan el Teorema de Cantor- Bernstein y buscan dos funciones inyectivas para asegurar que existe una función biyectiva entre ambos, pero no sé realmente cómo sería más adecuado para probar que son equiponentes.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, tengo un ejercicio en el que me piden probar que dos intervalos son equipotentes, supongo que son reales.

$$[0;1]$$ y $$[0;1)$$

Recuerdo de cuando estudié topología (hace mucho), que buscábamos una función biyectiva de un intervalo en el otro.
Estoy leyendo en un foro que usan el Teorema de Cantor- Bernstein y buscan dos funciones inyectivas para asegurar que existe una función biyectiva entre ambos, pero no sé realmente cómo sería más adecuado para probar que son equiponentes.

Considera el conjunto \( X=\{1/n|n\in \Bbb n\} \). Fíjate que es una sucesión totalmente contenida en \( [0,1] \) y también en \( [0,1) \) excepto el \( 1 \).

Tienes que \( [0,1]-X=[0,1)-X \). ¿De acuerdo?.

Entonces define \( f:[0,1]\to [0,1) \)

\( f(x)=\begin{cases}{x}&\text{si}& x\in [0,1]-X\\1/(n+1) & \text{si}& x\in X\end{cases} \)

Comprueba que es una biyección.

Spoiler

La inversa es  \( g:[0,1)\to [0,1] \)

\( g(x)=\begin{cases}{x}&\text{si}& x\in [0,1)-X\\1/(n-1) & \text{si}& x\in X\end{cases} \)

[cerrar]

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,  gracias, me parecía que era algo así. Si tuviera estos intervalos  $$[0,1]$$ y $$[0,2]$$ sería mucho más sencillo porque $$y=2x$$ va de uno en el otro. ¿Cierto?

Si. El otro caso a priori es más molesto porque quitamos un punto en el extremo del intervalo cerrado.

En general la idea para definir una biyección entre dos conjuntos  que se obtienen de dos infinitos y equipotentes, pero quitando en cada uno de ellos una cantidad finita distinta de puntos en cada uno de ellos, es tomar un subconjunto numerable que incluya los puntos quitados y usar que cualquier par de conjuntos que se obtienen quitando un número finito de puntos a uno numerable son equipotentes.

Pretendía aclarar y generalizar pero no se si me ha quedado algo críptico el párrafo anterior. 

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola nuevamente, sigo pensando en esto que pregunté, ¿estaría bien esta función para esos mismos intervalos?

$$f: [0,1]\longrightarrow{[0,1)}$$
$$X=\left\{{{\displaystyle\frac{1}{2^n} / n \in{\mathbb{Z^+_0}}}}  \right\}$$
$$f(x)=\begin{cases}{x}&\text{si}& x\in{[0,1] -X }\\\color{red}\displaystyle\frac{1}{2^x}\color{black} & \text{si}& x\in{X}\end{cases}$$

La parte en rojo está mal. Quizá querías poner \( \dfrac{x}{2} \)..

Spoiler

La idea es que:

 \( 1/2^0 \)  vaya en \( 1/2^1 \).
 \( 1/2^1 \)  vaya en \( 1/2^2 \).
 \( 1/2^2 \)  vaya en \( 1/2^3 \).

 ....

[cerrar]

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Hola nuevamente, sigo pensando en esto que pregunté, ¿estaría bien esta función para esos mismos intervalos?

$$f: [0,1]\longrightarrow{[0,1)}$$
$$X=\left\{{{\displaystyle\frac{1}{2^n} / n \in{\mathbb{Z^+_0}}}}  \right\}$$
$$f(x)=\begin{cases}{x}&\text{si}& x\in{[0,1] -X }\\\displaystyle\frac{1}{2^x} & \text{si}& x\in{X}\end{cases}$$

Pero esa no es inyectiva ¿no?
Por ejemplo, si es \( n\in\mathbb{N} \) cualquiera, y tomas \( x_1=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2^n}}\in [0,1]-X \), se tiene que \( x_2=\dfrac{1}{2^n}\in X \) y es \( x_1\neq x_2 \) pero \( f(x_1)=f(x_2) \) ya que \( f(x_1)=x_1=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2^n}} \) y \( f(x_2)=f\left(\dfrac{1}{2^n}\right)=\dfrac{1}{2^{x_2}}=\dfrac{1}{2^{\frac{1}{2^n}}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2^n}} \)
PD: Se adelantó Luis Fuentes 
Saludos