\( \triangle{CDR}\equiv \triangle{ADP}\sim \triangle{CNP}\sim\triangle{ANR} \)
Así, \( AP=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+(8\sqrt{2})^2}=10\sqrt{2}\\
\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{CP}{CN}\Longleftrightarrow \dfrac{10\sqrt{2}}{8\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{CN}\Longrightarrow CN=\dfrac{8\sqrt{2}}{5}\\
\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{CP}{NP}\Longleftrightarrow \dfrac{10\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{NP}\Longrightarrow NP=\dfrac{6\sqrt{2}}{5} \)
Aplicando ahora el teorema del cateto y de la altura en \( \triangle{CNP} \) se tiene
\( \left\{\begin{array}{l}CN^2=mCP\\NP^2=nCP\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\left(\dfrac{8\sqrt{2}}{5}\right)^2=2m\sqrt{2}\\\left(\dfrac{6\sqrt{2}}{5}\right)^2=2n\sqrt{2}\end{array}\right.\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}m=\dfrac{32\sqrt{2}}{25}\\n=\dfrac{18\sqrt{2}}{25}\end{array}\right. \) y hallamos la altura relativa al vértice \( N \) del triángulo \( \triangle{CNP}\\h^2=m\cdot n\Longrightarrow h=\cdots =\dfrac{24\sqrt{2}}{25} \)
Por otro lado, por ser \( M \) el punto medio de \( EF \) resulta que la distancia de \( M \) al segmento \( CD \) es
\( 4\sqrt{2}-\dfrac{7\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \).
De este modo en el triángulo rectángulo \( \triangle{MNQ} \) se tiene
\( MQ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{24\sqrt{2}}{25}=\dfrac{73\sqrt{2}}{50} \) y \( NQ=3\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{18\sqrt{2}}{25}=\dfrac{161\sqrt{2}}{50} \).
Finalmente \( MN=\sqrt{MQ^2+NQ^2}=\sqrt{\left(\dfrac{73\sqrt{2}}{50}\right)^2+\left(\dfrac{161\sqrt{2}}{50}\right)^2}=\cdots =\boxed{5}
\)
