Saludos a todos.
Sea \(G\) un grupo topológico de Hausdorff y \(s\in G\setminus\{e\}\). Mostrar que existe \(V\) una vecindad simétrica de \(e\) tal que \(s\notin V^2\) tal que existe una cubierta con a lo más 17 elementos de conjuntos de la forma \(a_kVb_k\) con \(1\leq k\leq 17\). La sugerencia que se da es la siguiente: considerar a un elemento maximal en el conjunto de vecindades simétricas \(V\)de \(e\) tales que \(s\notin V^2\). Luego, considerar el conjunto \(S=\{x\in G:x^2=s\}\); observar que si se tienen \(x,y\in S\) tales que \(xy^{-1}\in S\), entonces necesariamente \(s^2=e\) y si además \(z\in S\) es tal que \(xz^{-1}\in S\) e \(yz^{-1}\in S\), entonces \(z\) debe conmutar con \(xy^{-1}\) y \(xy^{-1}z^{-1}\notin S\).
Pude probar las observaciones, pero no veo lo que sigue del camino
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