[delmar]

Hola:

El enunciado dice:
En cierta roca lunar se encontró igual contenido en el número de átomos de potasio que de argón.Considere que todo el argón es el resultado del decrecimiento radioactivo del potasio(su vida media es de alrededor de \( 1.28 \cdot 10^9 \) años ) y que una de cada nueve desintegraciones del átomo de potasio produce un  átomo de argón,¿cuál es la edad de la roca,medida desde el tiempo en que contenía potasio solamente?
...

Hay algo que no me cuadra ..
Si inicialmente toda la muestra era potasio y en la actualidad la mitad de ella es potasio, eso quiere decir que la edad de la roca es precisamente la semivida del potasio, es decir, \( t_{\frac{1}{2}} \) y como se conoce la vida media, \( \tau \) y se tiene que \( t_{\frac{1}{2}}=\tau\ln 2 \), resulta que la edad de la roca es \( 1,28\cdot 10^9 \ln 2\simeq 887,3 \) millones de años.
En definitiva, que sobraría el dato de que una de cada nueve desintegraciones del átomo de Potasio produce un átomo de Argón.
Saludos

La parte marcada en rojo no se menciona en el enunciado

Saludos

[Richard R Richard]

Me he guiado por el enunciado donde hablan de vida media (\( \tau \)) en vez de semivida (\( t_{1/2}) \) 
Saludos

== Relación entre la vida media y el periodo de semidesintegración ==
El tiempo promedio o vida media ($$\tau $$) es igual a la inversa de la constante de desintegración ($$\lambda$$).


Así, resulta también que $$\tau$$ es igual al tiempo necesario para que el número de átomos se reduzca en un factor [[Número e|e]]; y se relaciona con el [[periodo de semidesintegración]], vida mitad, hemivida o semivida, según la siguiente fórmula:


:$$t_{1/2} =  \tau \cdot \ln2   $$

https://es.wikipedia.org/wiki/Vida_media#Relaci%C3%B3n_entre_la_vida_media_y_el_periodo_de_semidesintegraci%C3%B3n

Oh oh... recalculando el enunciado dice

(su vida media es de alrededor de \( 1.28 \cdot 10^9 \) años )

como no me convencía...

Se llama [[vida media|tiempo de vida o tiempo de vida media]] de un [[radioisótopo]] el tiempo promedio de vida de un átomo radiactivo antes de desintegrarse. Es igual a la inversa de la constante de desintegración radiactiva $$\tau = 1/\lambda \,\!$$).

Al tiempo que transcurre hasta que la cantidad de núcleos radiactivos de un isótopo radiactivo se reduzca a la mitad de la cantidad inicial se le conoce como [[período de semidesintegración]], período, semiperiodo, semivida o vida media (no confundir con el ya mencionado ''tiempo de vida'') ($$T_{1/2} = ln(2)/\lambda \,\!$$). Al final de cada período, la radiactividad se reduce a la mitad de la radiactividad inicial. Cada radioisótopo tiene un semiperíodo característico, en general diferente del de otros isótopos.

https://es.wikipedia.org/wiki/Radiactividad#Per%C3%ADodo_de_semidesintegraci%C3%B3n_radiactiva

Llevas razón... vida media no es lo mismo que tiempo de   media vida , me he merendado eso,  el juego de palabra me ha traicionado...aún creyéndolo tener claro

entonces $$\lambda=\dfrac{1}{\tau}=\dfrac{1}{1.28 \times10^9}$$

$$\dfrac{1}{10}=e^{-\lambda t}$$

$$t=\ln 10\cdot 1.28 x10^9= 2.94x 10^9$$ años  tampoco es el resultado del solucionario.

[ani_pascual]

Hola:

...
La parte marcada en rojo no se menciona en el enunciado
...

Ya, es cierto; malinterpreté esa parte del enunciado, pero ya me lo ha aclarado Richard R Richard. ¿Qué opinas tú del aparente disenso respecto al significado del concepto vida media?  En algunos textos la definen como la inversa de la constante de desintegración, es decir, \( \tau=\dfrac{1}{\lambda} \) y en otros textos como sinónimo de la semivida, es decir, \( t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda} \)
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Mira la  lo que dice  en la wikipedia:
https://es.wikipedia.org/wiki/Vida_media
https://es.wikipedia.org/wiki/Discusi%C3%B3n:Vida_media
He buscado otro libros y todos dicen lo mismo es el tiempo que tarda en que quede la mitad de la materia.
En los libros que busqué, vida media es lo que tarda en desintegrarse a la mitad de la materia que tenía en un inicio.
El ejercicio que propuse iba por ese camino.

Ya, es cierto; malinterpreté esa parte del enunciado, pero ya me lo ha aclarado Rochard R Richard. ¿Qué opinas tú del aparente disenso respecto al significado del concepto vida media?  En algunos textos la definen como la inversa de la constante de desintegración, es decir, \( \tau=\dfrac{1}{\lambda} \) y en otros textos como sinónimo de la semivida, es decir, \( t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda} \)
Saludos

Podríamos crear un ministerio para discutirlo yo presidente y tu vicepresidente y a cobrar

[Richard R Richard]

Tampoco la wiki se pone clara

https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Is%C3%B3topos_de_potasio

La  semivida del potasio $${^{40}K}$$ es de $$1,248(3).10^9\cong 1,25.10^9$$ años  que es muy similar a la respuesta del solucionario, probablemente allí se confundieron y pusieron este dato y no el verdadero resultado del problema.

y por otra lado  en https://es.wikipedia.org/wiki/Potasio

La  semivida del potasio $${^{40}K}$$ es de $$1,277.10^9\cong 1,28.10^9$$ años  que es la vida media dada en el enunciado del problema... No solo nosotros erramos 
Juan Pablo, la "vida media", está relacionada con la media matemática de la función exponencial decreciente de la concentración del activo y la "media vida" es el tiempo en que la concentración se reduce a la mitad... así que lo que calcule en primer medida estaba mal.

Fijate que una vida media de 1280Ma es mayor al resultado que te piden llegar de 1250Ma en ese tiempo solo ha decaído al 37%,   en ese tiempo superó su semivida a los 887 Ma

$$ f_{raccion}=e^{-\left( \dfrac{1250}{1280}\right)}\cong  37 \% $$ no es el  10% de la deducción del enunciado


Saludos 

[Juan Pablo Sancho]

En ingles que suele ser mejor:
https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_decay#Mean_lifetime
En el libro del ejercicio dice:
Así, la vida media \( \tau \) de un isotopo radioactivo es el tiempo requerido para que decrezca en un 50%.Para encontrar la relación entre k y \( \tau \), tenemos \( t= \tau \) y \( N = \dfrac{1}{2} \cdot  N_0  \) en la ecuación \( N(t) = N_0 \cdot e^{-kt}  \), así que \(  \tau = \dfrac{\log(2)}{k}  \)
Si hay otras definiciones no entro.

[Richard R Richard]

Si hay otras definiciones no entro.

De acuerdo. El libro se riñe con lo que dice wikipedia. No tengo en biblioteca , nada como para citarte o recomendarte.

mira aqui apoya lo que tu dices

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/desintegracion/radio.htm

Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación $$N=N0/2$$ se obtiene

$$\tau=\dfrac{ln2}{\lambda}$$

todo lo contrario a esto https://es.wikipedia.org/wiki/Periodo_de_semidesintegraci%C3%B3n

[Juan Pablo Sancho]

Hombre no era para discutir.
El libro que puse era :
Ecuaciones diferanciales de C.Henry Edwards y David E.Penney
Pero en :
Ecuaciones diferenciales de :
Paul Blanchard
Robert L.Devaney
Glen R. Hall
Dice lo mismo, siempre lo he visto así son libros de introducción a edo no especializaciones en radioactividad, si hay un libro introductorio que use la otra definición que se ponga,pero creo que no era la finalidad del hilo.

[delmar]

Hola:

...
La parte marcada en rojo no se menciona en el enunciado
...

Ya, es cierto; malinterpreté esa parte del enunciado, pero ya me lo ha aclarado Rochard R Richard. ¿Qué opinas tú del aparente disenso respecto al significado del concepto vida media?  En algunos textos la definen como la inversa de la constante de desintegración, es decir, \( \tau=\dfrac{1}{\lambda} \) y en otros textos como sinónimo de la semivida, es decir, \( t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda} \)
Saludos

En rigor hay diferencias entre los conceptos de vida media y período de semidesintegración, el primero es un término relacionado con la probabilidad y el segundo se refiere al tiempo necesario para que una muestra de un determinado material radiactivo se reduzca a su mitad, este es el significado que según el contexto del enunciado se ha de considerar, además es muy común utilizar el término vida media como período de semidesintegración en problemas matemáticos.

Saludos

[Richard R Richard]

Hombre no era para discutir

Si, todo bien, no te preocupes,  yo sigo pensando que tal cual lo planteaste al inicio es sensato.Me quedo con que en español  vida media y media vida pueden confundirse al traducirlo, pero en inglés las palabras  son diferentes.