Hola
Saludos a todos. Estaba en la sección de ejercicios del libro de topología de Bourbaki y creo que este ejercicio está mal.
Sea \(p\) un primo y para cada \(n\in\mathbb N^*\), \(G_n=p^n\mathbb Z\) y \(X_n=\mathbb Z\) ambos dotados de la topología discreta. Considerando a \((G_n)\) y \((X_n)\) como sistemas proyectivos, con \(X_m\to X_n\) la función identidad y \(G_m\to G_n\) el monomorfismo canónico para \(m\geq n\). El ejercicio deja implícito que es posible realizar el cociente \(\varprojlim X_n/\varprojlim G_n\). Pero \(\varprojlim X_n=\{\mathbf x:\exists l\in\mathbb N~\forall \alpha\in \mathbb N,~ x(\alpha)=l\}\) y \(\{p^n\}_{n\in\mathbb N}\in\varprojlim G_n\), por lo que \(\varprojlim G_n\nsubseteq \varprojlim X_n\). Se supone que el ejercicio muestra un ejemplo en donde la función canónica \(X/G\to \varprojlim X_n/G_n\) no es suprayectiva. Y he estado un rato pensando en un ejemplo, pero no lo veo :'(
No entiendo lo que has escrito y que marco en rojo.
Los conjuntos \( X_n=\Bbb Z \) son todos iguales con funciones de transición la identidad. Entonces trivialmente \( \varprojlim X_n=\Bbb Z \).
Por otro lado comprueba que \( \varprojlim G_n=0 \). Si no te sale dime exactamente cómo te han definido el limite proyectivo (tengo ciertas dudas con la notación que usas) y te lo detallo. Es bastante inmediato teniendo en cuenta que las funciones de transición son las inclusiones naturales y que un natural no puede ser múltiplo de CUALQUIER potencia de \( p \).
Saludos.
La definición de límite proyectivo que tengo es la siguiente: Dado un \((I,\preceq)\) un conjunto directo, una familia de espacios topológicos \(\{X_\alpha\}_{\alpha\in I}\) y para cada \(\alpha,\beta\in I\) tales que \(\alpha\preceq \beta\) se tiene una función continua \(f_\alpha^\beta:X_\beta\to X_\alpha\), además estás funciones cumplen que \(f_\alpha^\beta=f_\alpha^\gamma\circ f_\gamma^\beta\) siempre que \(\alpha\preceq \gamma\preceq \beta\). Entonces el límite inverso de estos espacios es
\[
\varprojlim \{X_n, f_\alpha^\beta, I\}= \left\{x\in \prod_{\alpha\in I} X_\alpha: \forall \alpha,\beta\text{ tales que }\alpha\preceq \beta, x(\alpha)=f_\alpha^\beta(x(\beta))\right\}
\]
En este sentido, los monomorfismos canónicos los estaba entendiendo entre \(G_m\to G_n\) como \(p^ml\mapsto p^nl\), pero creo que el ejercicio los estaba entendiendo solo como inclusiones, ese fue mi error.
