Hola a todos!
Si no es mucha molestia, me gustaría pediros ayuda con este ejercicio (que es poco "creativo" a priori, pero hay que tener algo de ingenio del que carezco). Dice así:
Mostrar que para cualquier constante positiva \( c \), la función \( u(x,t)= 3c \operatorname{sech}^2(\tfrac{1}{2}(x-ct)\sqrt{c}) \) es una solución de la ecuación de Korteweg–De Vries que describe el movimiento de las ondas de agua en un canal poco profundo. Dicha ecuación es:
\( \displaystyle\frac{{\partial u}}{{\partial t}}+ u\frac{{\partial u}}{{\partial x}}+ \frac{{\partial^3 u}}{{\partial x^3}}=0 \)
Comentario de mi medio- solución:
Adjunto una captura de mi resolución.
En cualquier caso, lo comento por aquí. La derivada de la secante hiperbólica es menos la secante hiperbólica por la tangente hiperbólica. Tengo ya probado que la derivada de u respecto a x es igual, en signo contrario, a la derivada parcial de u respecto a t. Luego, esas dos partes sumadas valen cero, y bastaría ver que la derivada parcial al cubo de
u respecto de x es nula también.
Ahora bien, este ejercicio forma parte de un examen presencial que hicimos, y nuestro profesor nos dijo: "No hace falta que me deis la derivada de la tangente hiperbólica, se irán solas..." Pues bien, me cuesta ver esa parte, no entiendo cómo sacarlo, y aunque podría poner la expresión en alguna calculadora de derivadas de internet, creo que hay que hacer este ejercicio con un poco de cabeza y no a lo bruto.
En ese sentido, os pido consejo, como en otras múltiples ocasiones he hecho.
Que tengáis un buen día todos.
Mensaje de la moderación: se ha insertado la imagen adjunta en el texto. Aquí tienes un tutorial sobre cómo se hace. También he corregido ligeramente el \(\LaTeX\), esencialmente para diferenciar \(csech\), como estaba originalmente, y \(c \operatorname{sech}\).
