[Richard R Richard]

 para no desviar el hilo

No quiero traer de vuelta temas  ya hablados en otros hilos , por eso lo dejo en spoiler

 Es decir, si \(dx\) carece de significado matemático entonces una expresión como \(d x=v(t)\ d t\) carece de significado matemático también.

A  veces no llego a entender ese grado de abstracción, ¿cual sería el significado matematico que se le otorga,  es forma diferencial o es otra cosa?,  de expresiones como estas \(d x=v(t)\ d t\) solo entiendo que es "lo que te desplazas en este momento es proporcional a la velocidad que llevas", te lleva un capitulo de libro si quieres ser mas riguroso. Solo le veo el significado físico, práctico, proporcionalidad entre vectores , le escribamos o no \(\vec .\) la flechita para denotar el espacio o espacio-tiempo. Lo que le llaman heurística, es lo que diferencia nuestras carreras.  Me refiero  a que no tengo la necesidad de demostrar la veracidad de resultado aplicando el teorema de la divergencia cada vez que necesite resolver  problema  de un campo eléctrico o gravitatorio, ciertos corolarios e  igualdades hacen factible la obtención rápida de  resultados compatibles con la realidad, tanto como un matematico cita cada teorema que haya estudiado y demostrado.

Para un ingeniero expresar la definición de derivada como lo haría un matematico

$$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}$$ 
no es mas que maquillaje para expresar el límite de un cociente incremental,
$$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_o+h)-f(x_o+0)}{h-0}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\Delta f(x_o)}{\Delta h}=\dfrac{df}{dh}(x_o)$$
tanto numerador como denominador tienden a cero y ciertas definiciones ,como las de "infinitésimo" , calzan al dedillo pues serían numerador y denominador  serían funciones  que tienden a cero en el punto de análisis.   

Entonces a consecuencia si un ingeniero escribe $$df=f'\,dx$$ y lo explica , un matematico se queja cuando dice que multiplica la derivada por un diferencial (algo tan pequeño que ...) para obtener otro diferencial ( cosa tan  pequeña que...)

Y cuando  un matemático escribe lo mismo   $$df=f'\,dx$$  ah noooo ... es una forma diferencial que asigna el valor de la derivada....    ya no me lo acuerdo debería revisar.....

¿Entonces todo está en los ojos del que lo mire o del que escribe? No?

Siempre se plantea que un ingeniero o físico debería examinar la rigurosidad de su exposición, ¿acaso , cuando se usan formas diferenciales, o el método analítico pertinente, la velocidad y la aceleración resultan diferentes en módulo a las que se pueden medir con un velocímetro o un radar Doppler?. Me parece que la discusión es que cada uno en su ámbito.  (Dejemos de lado aquellas con  indefiniciones o integrales impropias que han sido causa de innumerables debates)

La física y la ingeniería toman modelos  de la matemáticos compatibles  y le asignan un significado físico, que los matemáticos no entiendan (cosa que creo que no es cierta), sino que no comparten como riguroso por ejemplo la abstracción de la carga encerrada en un elemento de volumen anular de espesor "diferencial", mi punto de vista  es que deberían encontrar una forma mas "fácil" de explicarle a un físico  y este a su vez a un alumno cómo integrar la superficie de una esfera o elipsoide, sin perder de vista la simetría, que hace cero el valor de algunas componentes  (necesarias de entender para el alumno) y a la vez sin perecer de aburrimiento en el intento con las restantes componentes.  Porque sinceramente un físico modelará con lo que la matemática le permite. Entonces en el caso que sea fácil de explicar y entender con "infinitésimos", pues lo explican con eso... "Forma diferencial" es un concepto que lo poco que aprendí fue por aquí hace poco en este tipo de hilos, no es difícil de entender, así que desde entonces la pregunta que  me ronda en la cabeza es esta ¿Porque bajo el mismo techo de las universidades distintas cátedras, enseñan básicamente la obtención el mismo resultado en términos conceptuales  diferentes para carreras diferentes?

[cerrar]

[Masacroso]

Richard, sólo he dicho que me parece raro que se enseñen a manipular cosas que carecen de un significado preciso, no que no sea útil. La diferencia entre enseñar algo precisamente y no hacerlo ya la conoces: la precisión te permite llegar adonde quieras y no deja lugar a la duda, pero enseñar algo de manera práctica sólo te enseña a usar una herramienta, no a comprenderla.

En el día a día uno no necesita saber cómo fabricar un coche, o cómo esta hecho un coche, para utilizar uno. Pero dependiendo de lo que quieras hacer con el coche tendrás que tener más o menos conocimiento sobre él.

En matemáticas es del todo anormal utilizar algo sin definirlo con precisión primero, a pesar de que puedas manipularlo correctamente incluso sin entenderlo si te han dado algunas reglas que cumple. Por eso decía que es raro. Y por eso surgen este tipo de hilos, porque sin conocer lo que es algo con precisión siempre te queda la duda si alguna manipulación que hagas con ese objeto tiene sentido o no.

Spoiler

El significado matemático más "común" de \(df\) es el de diferencial de una función, en el ámbito de la geometría diferencial. Lo que significa es que dada una variedad diferencial \(M\) y un vector \(\mathbf{v}\) tangente a un punto \(x_0\in M\) entonces \(df|_{x_0}(v)\) es un número real, es decir que \(df\) es una función desde \(M\) al espacio cotangente de \(M\), usualmente denotado como \(T^*M\), tal que para un \(x_0\in M\) cualquiera \(df|_{x_0}\) (el valor de \(df\) en \(x_0\)) es una función lineal desde el espacio de vectores tangentes a \(x_0\) a \(\mathbb{R}\), lo que usualmente se denomina covector.

Si \(M\) tiene dimensión \(n\) entonces para cada "base" (en verdad eso representa una continuidad de bases vectoriales, denominada frame en inglés) de campos vectoriales \(\frac{\partial}{\partial x^ 1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x^n} \) existe una "base" (un frame) dual \(dx^ 1,\ldots,dx^n \) de campos covectoriales, también denominados formas diferenciales, tales que \(df=\sum_{k=1}^n \frac{\partial}{\partial x^k}f\,d x^k\). Como \(\mathbb{R}\) es una variedad dimensional de una dimensión entonces \(df=\frac{\partial}{\partial x}f\,d x\) donde \(dx\) es la forma diferencial canónica en \(\mathbb{R}\). En este caso tan sencillo se puede escribir \(df=f'\,d x\).

Ésa es la forma más usual de definir \(df\), es decir, a través de formas diferenciales. Pero Robinson inventó otra forma que sólo es aplicable a \(\mathbb{R}\) (aunque se han intentado diferentes extensiones a espacios euclídeos) creando un concepto de infinitesimal matemáticamente riguroso. En tal extensión se define \(df:=f'\,d x\), siendo \(dx\) un número infinitesimal diferente de cero. En tal teoría expresiones como \(\frac{dy}{dx}\) son fracciones de números infinitesimales, que están bien definidas siempre y cuando \(dx\neq 0\). La aparente sencillez de esta teoría es eso, pura apariencia, porque en la práctica resulta ser bastante más compleja que la geometría diferencial debido a que requiere unos conocimientos sobre lógica bastante más fuertes que los que maneja un matemático al uso para poderla utilizar sin riesgo de escribir barbaridades.

[cerrar]

[Juan Pablo Sancho]

También puedes tomar que si \( h \neq 0  \) y existe \( f'(x_0) \) tenemos que \(  f(x_0 + h) - f(x_0) = f'(x_0) \cdot h + h \cdot \epsilon(h)  \) sólo usando la definición de derivada y se llama diferencial de \( f \) a \( df \) a su parte "lineal"  vamos \(  df = f'(x_0) \cdot h  \) que es lo usual el los libros de análisis.
Entonces \(  f(x_0 + h) - f(x_0) = f'(x_0) \cdot h + h \cdot \epsilon(h) = df + h \cdot \epsilon(h)  \) donde \( h  \neq 0  \).
Es diferente a  \( \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h)-f(x_0)}{h} = f'(x_0) = \dfrac{df}{dx}  \) este \( df \) no tiene que ver con el de diferencial antes mencionado.