[Matilon]

¡Hola! Es mi primer mensaje en este foro. He visto varios mensajes cuyas respuestas son simplemente muy buenas. Me he registrado más que nada porque tengo un problema relacionado con trigonometría. Escribo en este foro con el objetivo de que alguien pueda ayudarme, pues dentro de unos días tengo un examen sobre dicho tema.

La cuestión es que no entiendo como realizar un sistema de ecuaciones trigonométricas cuyas ecuaciones sean multiplicaciones. Es decir, en una tengo, por ejemplo:

\(  sen(x) \cdot cos(y) = 1/2 \)
\( sin(y)\cdot cos(x)=1/2 \).

 La cosa es que no sé cómo proceder.

Desde aquí, le agradezco a aquel que se pare a leer mi mensaje y ayudarme en este problema. ¡Muchas gracias!

[ani_pascual]

Hola, bienvenido al foro. Recuerda que es necesario usar \( \LaTeX \)
para escribir las expresiones matemáticas 

...
La cuestión es que no entiendo como realizar un sistema de ecuaciones trigonométricas cuyas ecuaciones sean multiplicaciones. Es decir, en una tengo, por ejemplo, sen(x) x cos(y) = 1/2, y, en la otra, sen(y) x cos(x) = 1/2. La cosa es que no sé cómo proceder.

Desde aquí, le agradezco a aquel que se pare a leer mi mensaje y ayudarme en este problema. ¡Muchas gracias!

Respecto a tu pregunta...
una sugerencia es sumar ambas ecuaciones y obtienes \( \sin(x+y)=1 \) y de ahí supongo que sabrás continuar... 
Escribo tu sistema para que te sirva de ejemplo para otra vez...

\( \left\{ \begin{array}{l}\sin x \cos y=\dfrac{1}{2}\\\sin y\cos x=\dfrac{1}{2}\end{array}\right. \)

Saludos

[Matilon]

Muchas gracias por la sugerencia . Al parecer, en el cuestionario del que dispongo, se resuelve mediante el método de igualación, dando dos posibilidades. O bien se opera igualando las tangentes tanto de x como de y, o igualando directamente ambas incógnitas.

[Richard R Richard]

Hola, es fácil de adivinar , pero  hay que mostrarlo ,si divides las ecuaciones tienes

$$\dfrac{\sin x \cos y}{\cos x\sin y}=\dfrac{\frac12}{\frac12}$$

osea $$\dfrac{\tan x}{\tan y}=1 \quad\to\quad tan x=tan y $$

como la función tangente es siempre creciente pero multivaluada entre  tienes que $$y=x + \color{red}\cancel{2}\color{black} k_1\pi$$ ec 1

por otro lado si sumas

$$\sin x \cos y+\cos x\sin y=\dfrac12+\dfrac12$$ (que resulta ser la ecuación del seno de la suma de los  ángulos)

$$\sin(x+y)=1$$

luego usando ec 1

$$\sin(x+x+2k_2\pi)=1=\sin(2x)$$

$$\arcsin 1=\dfrac{\pi}{2}+2k_2\pi= 2x$$

entonces $$x=\dfrac{\pi}{4}+k_2\pi$$ e $$y =\dfrac{\pi}{4}+(\color{red}\cancel{2}\color{black}k_1+k_2)\pi$$

reduciendo la múltiples soluciones solo al primer cuadrante $$x=\dfrac{\pi}{4}$$ e $$y =\dfrac{\pi}{4}$$

Corregido, gracias Luis

[Luis Fuentes]

HOla

Hola, es fácil de adivinar , pero  hay que mostrarlo ,si divides las ecuaciones tienes

$$\dfrac{\sin x \cos y}{\cos x\sin y}=\dfrac{\frac12}{\frac12}$$

osea $$\dfrac{\tan x}{\tan y}=1 \quad\to\quad tan x=tan y $$

como la función tangente es siempre creciente pero multivaluada entre  tienes que $$y=x +2k_1\pi$$ ec 1

 Hay una erratilla ahí; la tangente es periódica de período \( \pi \) así que sería $$y=x +k_1\pi$$.

 Aunque no influye en el resultado final.

Saludos.