[Nub]

Hola, tengo \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx \) y no puedo resolverla

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{-x^2}dx +\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\underbrace{\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{-x^2}dx }_{\text{A}} +\underbrace{( \displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx + \displaystyle\int_{1}^{+\infty}e^{-x^2}dx)}_{\text{B}} \)

Para resumir, en \( B \) tengo una integral definida + una integral impropia que por comparación \( e^{x^2}\geq{e^x}\Rightarrow{e^{-x^2}}\leq{e^{-x}} \) obtengo que converge entonces \( B \) converge

Luego intente en \( A \) usar comparación pero diverge \( \displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{-x} \) (Que es lo que quería comparar con \( \displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{-x^2} \)

[delmar]

Hola

Si B converge y A diverge, la suma diverge.


Saludos


AÑADO : Creo entender que no estas seguro que A diverga; pero es muy sencillo demostrar que A diverge, una forma :

\( \forall{M}>0, \ \ \displaystyle\int_{-M}^{0}e^{-x}dx=-\displaystyle\int_{M}^{0}e^u \ du=\displaystyle\int_{0}^{M}e^u \ du=e^M-1\Rightarrow{\displaystyle\int_{-\infty}^{0}}e^{-x}\ dx=\displaystyle\lim_{M \to{+}\infty}{e^M-1}=\infty \)

[Nub]

Hola

Si B converge y A diverge, la suma diverge.


Saludos


AÑADO : Creo entender que no estas seguro que A diverga; pero es muy sencillo demostrar que A diverge, una forma :

\( \forall{M}>0, \ \ \displaystyle\int_{-M}^{0}e^{-x}dx=-\displaystyle\int_{M}^{0}e^u \ du=\displaystyle\int_{0}^{M}e^u \ du=e^M-1\Rightarrow{\displaystyle\int_{-\infty}^{0}}e^{-x}\ dx=\displaystyle\lim_{M \to{+}\infty}{e^M-1}=\infty \)

perdón todo mal hice, era \( -x^2 \) ahora edito todo el post

[mathtruco]

Hola Nub.

Con la edición que hiciste tu pregunta cambia, por lo que lo respondido por delmar queda descontextualizado. Cuando debas hacer una edición a un mensaje que ya haya sido respondido, es mejor que o edites en rojo los cambios o escribas abajo del mensaje original la corrección, de modo que las respuestas siguientes no estén fuera de contexto. O escribas la pregunta en un nuevo mensaje más abajo, lo que te parezca más claro.


Considera lo siguiente:

    \( \displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^0 e^{-x^2}dx+\int_0^\infty e^{-x^2}dx \)

pero, haciendo un cambio de variables adecuado, es fáicl ver que

    \( \displaystyle\int_{-\infty}^0 e^{-x^2}dx=\int_0^\infty e^{-x^2}dx \)

y con eso

    \( \displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=2\int_0^\infty e^{-x^2}dx \).

Con esta información, ¿puedes seguir?

[delmar]

Completamente de acuerdo con lo dicho por mathtruco y en efecto un cambio de variable conveniente  para \( \displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{-x^2}dx \) es u=-x

Saludos

[Nub]

Completamente de acuerdo con lo dicho por mathtruco y en efecto un cambio de variable conveniente  para \( \displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{-x^2}dx \) es u=-x

Saludos

Ese cambio de variable no deja \( \displaystyle\int_{+\infty}^{0}e^{u^2} \)? (Cosa diferente a lo de mathruco)

[ani_pascual]

Hola:

...
Ese cambio de variable no deja \( \displaystyle\int_{+\infty}^{0}e^{u^2} \)? (Cosa diferente a lo de mathruco)

\( u=-x\Longrightarrow du=-dx \) luego \( \displaystyle\int_{-\infty}^0e^{-x^2}\,dx=-\displaystyle\int_{\infty}^0e^{-(-u)^2}\,du=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-u^2}\,du \)
Añadido

Spoiler

Es un ejemplo clásico, cuyo resultado es conocido...
Sea \( I:=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-x^2}\,dx \)
entonces \( I^2=\left(\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-x^2}\,dx\right)\left(\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-y^2}\,dy\right)=\displaystyle\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\infty}re^{-r^2}\,drd\theta=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left.\dfrac{-1}{2}e^{-r^2}\right|_0^{\infty}\,d\theta=\dfrac{1}{2}\left.\theta\right|_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{4} \)
 de donde \( I=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \) y, por tanto, \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=2I=\boxed{\sqrt{\pi}} \)

[cerrar]

Saludos

[Fernando Revilla]

Hola, tengo \( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx \) y no puedo resolverla

1. Una forma (al uso) de calcularla:

        \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx\underbrace{=}_{t=x^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{-1/2}e^{-t}dt=\displaystyle\frac{1}{2}\Gamma (1/2)=\displaystyle\frac{\sqrt \pi}{2} \).

2. Una forma (no al uso ) de calcularla: Integral de Euler-Poisson | Fernando Revilla

[Masacroso]

Aunque algo off-topic, siguiendo el comentario de Fernando, agrego otra forma de calcular la integral (quizá la forma más sencilla que conozco):

\( \displaystyle{
\begin{align*}
\left(\int_{0}^{\infty }e^{-x^2}\,d x\right)^2&=\left(\frac1{2}\int_{-\infty }^{\infty }e^{-x^2}\,d x\right)^2\\
&=\left(\frac1{2}\int_{-\infty }^{\infty }e^{-x^2}\,d x\right)\left(\frac1{2}\int_{-\infty }^{\infty }e^{-y^2}\,d y\right)\\
&=\frac1{4}\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }e^{-x^2-y^2}\,d x\,d y\\
&=\frac1{4}\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{2\pi}e^{-r^2}r\,d \theta \,d r,\quad \text{ cambiando a coordenadas polares }\\
&=\frac{\pi}{4}\int_{0}^{\infty }2re^{-r^2}\,d r\\
&=\frac{\pi}{4}\\
\therefore\quad \int_{0}^{\infty }e^{-x^2}\,d x&= \sqrt{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
\end{align*}
} \)

∎

Añadido: no había visto el spoiler de Ani_pascual, que es básicamente lo mismo 

[Nub]

Hola:

...
Ese cambio de variable no deja \( \displaystyle\int_{+\infty}^{0}e^{u^2} \)? (Cosa diferente a lo de mathruco)

\( u=-x\Longrightarrow du=-dx \) luego \( \displaystyle\int_{-\infty}^0e^{-x^2}\,dx=-\displaystyle\int_{\infty}^0e^{-(-u)^2}\,du=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-u^2}\,du \)
Añadido

Spoiler

Es un ejemplo clásico, cuyo resultado es conocido...
Sea \( I:=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-x^2}\,dx \)
entonces \( I^2=\left(\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-x^2}\,dx\right)\left(\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-y^2}\,dy\right)=\displaystyle\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\infty}re^{-r^2}\,drd\theta=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left.\dfrac{-1}{2}e^{-r^2}\right|_0^{\infty}\,d\theta=\dfrac{1}{2}\left.\theta\right|_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{4} \)
 de donde \( I=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} \) y, por tanto, \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=2I=\boxed{\sqrt{\pi}} \)

[cerrar]

Saludos

\( \displaystyle\int_{-\infty}^0e^{-x^2}\,dx=-\displaystyle\int_{\infty}^0e^{-(-x)^2}\,-dx=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-u^2}\,du \)
¿No seria así?
Otra cosa, hacer \( -x^2=-(-x)^2 \) es solo un "truco" para hacer el c.variable ?