No tengo claro como estás interpretando esas diferenciales.
Por ejemplo, considera la solución que has obtenido. ¿Cómo comprobarías que cumplen esas relaciones?.
Se trata de una forma de reescribir la regla de la cadena:
\( du=\displaystyle\frac{{\partial u}}{{\partial x}}dx+\frac{{\partial u}}{{\partial y}}dy \)
\( \displaystyle \frac{du}{dt}=\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\frac{dx}{dt}+\frac{{\partial u}}{{\partial y}}\frac{dy}{dt} \)
Si el problema de Cauchy es \( Au_x+Bu_y=C \), tenemos que \( A=x'(t),B=y'(t),C=u'(t) \). De aquí deducimos que \( dx/A=dy/B=du/C \).
Teniendo en cuenta que mi problema en cuestión es \( u·u_x+y·u_y=x \), es inmediato obtener los diferenciales que comentas.
No se me había ocurrido pensar en comprobarlos, pero he pensado en que se puede introducir directamente la solución y ver si la igualdad se cumple, es decir, sabiendo que \( u(x,y)=x\displaystyle\frac{3y^2+1}{3y^2-1} \) [
ojo, en tu solución tienes el signo cambiado], vemos que:
\( du=\displaystyle\frac{{\partial u}}{{\partial x}}dx+\frac{{\partial u}}{{\partial y}}dy \)
\( du=\displaystyle\frac{3y^2+1}{3y^2-1}dx-\frac{12xy}{(3y^2-1)^2}dy \)
\( \displaystyle\frac{du}{x}=\frac{u(3y^2+1)}{x(3y^2-1)}\frac{dx}{u}-\frac{12xy^2}{x(3y^2-1)^2}\frac{dy}{y} \)
Dado que \( \displaystyle\frac{dx}{u}=\frac{dy}{y}=\frac{du}{x} \), entonces tiene que cumplirse \( \displaystyle 1=\frac{u(3y^2+1)}{x(3y^2-1)}-\frac{12xy^2}{x(3y^2-1)^2} \), lo cual (tras unos cuantos cálculos) resulta ser cierto.
En cuanto al método alternativo, tras una tarde estrujándome el cerebro en el curro, creo que lo he logrado:
Al resolver las ecuaciones diferenciales en \( x,y,u \) se llega a
\( u^2=x^2+c_1 \)
\( y=c_2·(u+x) \)
donde \( c_1,c_2 \) son sendas constantes de integración que se entienden como funciones de \( x,y \) a priori arbitrarias pero relacionadas entre sí.
Con la primera vemos que \( c_1=u^2-x^2 \) y por tanto la segunda queda \( y=c_2(u^2-x^2)·(u+x) \). Aplicamos la condición de contorno a esta última y así \( 1=c_2(4x^2-x^2)·(2x+x)=c_2(3x^2)·3x\Longrightarrow{c_2(3x^2)=\displaystyle\frac{1}{3x}} \). Con un sencillo cambio vemos que la función tiene la forma \( \displaystyle c_2(x)=\frac{1}{\sqrt[ ]{3x}} \).
Ahora vamos a la segunda y escribimos: \( \displaystyle y=c_2(u^2-x^2)·(u+x)=\frac{u+x}{\sqrt[ ]{3(u^2-x^2)}} \).
Y, ¡por fin!, queda despejar la función \( u \):
\( 3y^2(u^2-x^2)=(u+x)^2 \)
\( 3y^2(u-x)=(u+x) \)
\( u(3y^2-1)=x(3y^2+1) \)
\( u(x,y)=x\displaystyle\frac{3y^2+1}{3y^2-1} \)
Supongo que habrá que matizar algún punto, pero lo veo bastante razonable.
En todo caso, gracias por los aportes.
Saludos
