[muntius]

Hola. Saludos a todos y mis disculpas si este no es el lugar indicado. Es la primera vez que escribo algo y ando perdido.
Me gustaría que alguien me pudiese dar una explicación a una idea que lleva rondando mi cabeza algunas semanas y a la que no le encuentro el error.

Ahí va.


\( \forall{} x \in{} N \)
La función \( f(x) = \displaystyle\frac{n-x}{n-2x} \) evaluada en el dominio \( \displaystyle\ 2 \leq{}x\leq{}\displaystyle\frac{n-3}{2} \)  siempre toma valores enteros en \( f( \displaystyle\frac{n-p}{2}) \) si \( \displaystyle p \) (primo), es un factor de n.

Por ejemplo:

para \(  n = 15 \), cuyos factores son 3 y 5

Si \( \displaystyle\ p = 3 \)

\( \displaystyle\ x = \frac{15-3}{2} = 6 \)    \( f(6)=\displaystyle \frac{15-6}{15-12} =  \frac{9}{3} = 3 \)

Si \( \displaystyle\ p = 5 \)

\( \displaystyle\ x = \frac{15-5}{2} = 5 \)    \( f(5)=\displaystyle \frac{15-5}{15-10} =  \frac{10}{5} = 2 \)

Para los primos que no son factores de 15, la función no toma valores enteros.

Si \( \displaystyle\ p = 7 \)

\( \displaystyle\ x = \frac{15-7}{2} = 4 \)    \( f(4)=\displaystyle \frac{15-4}{15-8} =  \frac{11}{7} = 1,57 \)


Otro ejemplo:

para \(  n = 57 \), cuyos factores son 3 y 19

Si \( \displaystyle\ p = 3 \)

\( \displaystyle\ x = \frac{57 - 3}{2} = 27 \)    \( f(27)=\displaystyle \frac{57-27}{57 - 54} =  \frac{30}{3} = 10 \)


Si \( \displaystyle\ p = 19 \)

\( \displaystyle\ x = \frac{57 - 19}{2} = 19 \)    \( f(19)=\displaystyle \frac{57-19}{57 - 38} =  \frac{38}{19} = 2 \)


Para los primos que no son factores de 57, la función no toma valores enteros.

Si \( \displaystyle\ p = 5 \)

\( \displaystyle\ x = \frac{57-5}{2} = 26 \)    \( f(26)=\displaystyle \frac{57-26}{57-52} =  \frac{31}{5} = 6,2 \)

Si \( \displaystyle\ p = 7 \)

\( \displaystyle\ x = \frac{57-7}{2} = 25 \)    \( f(25)=\displaystyle \frac{57-25}{57-50} =  \frac{32}{7} = 4,57 \)

Si \( \displaystyle\ p = 11 \)

\( \displaystyle\ x = \frac{57-11}{2} = 23 \)    \( f(23)=\displaystyle \frac{57-23}{57-46} =  \frac{34}{11} = 3.09 \)

[Luis Fuentes]

Hola

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Hola. Saludos a todos y mis disculpas si este no es el lugar indicado. Es la primera vez que escribo algo y ando perdido. Me gustaría que alguien me pudiese dar una explicación a una idea que lleva rondando mi cabeza algunas semanas y a la que no le encuentro el error. Ahí va. La función f(x) = (n-x)/(n-2x) evaluada en el intervalo [sqrt(n), (n-3)/2] siempre toma valores enteros en f(n-p)/2 si p (primo) es un factor de n. El límite superior del intervalo (n-3)/2 lo pongo ahí para no evaluar el caso de que n sea par. Gracias y nuevamente mis disculpas si no es este el lugar para este tipo de preguntas.

No me queda claro lo que propones. ¿Te refieres a que \( f(n-p)/2 \) es entero si \( p \) es un factor primo de \( n \)?. O a la función \( f \) evaluada en ese punto, es decir, algo así como \( f(f(n-p)/2) \). ¿Y exactamente qué pinta ese intervalo?.

Supones \( n \) par o impar o da igual.

Intenta explicarlo mejor. Añade ejemplos.

Saludos.

[muntius]

Gracias por la recomendación. He modificado el mensaje original y espero haberme explicado mejor. En relación al intervalo  \( [2,\frac{n-3}{2}] \) es aquel en el que (creo) la función toma todos los posibles valores de los divisores enteros de n. El límite superior es el límite del primer valor que puede tomar la función si el primo p = 3, ya que los pares son triviales al ser 2 el único primo par. Al mismo tiempo, evita la asíntota vertical que existe al anularse el denominador cuando \( x=\frac{n}{2} \). Lamentablemente no sé cómo modificar el título de: "Formula que da entero bajo ciertas condiciones" por otro más representativo. Perdón, soy nuevo en esto.

[Luis Fuentes]

Hola

\( \forall{} x \in{} N \)
La función \( f(x) = \displaystyle\frac{n-x}{n-2x} \) evaluada en el dominio \( \displaystyle\ 2 \leq{}x\leq{}\displaystyle\frac{n-3}{2} \)  siempre toma valores enteros en \( f( \displaystyle\frac{n-p}{2}) \) si \( \displaystyle p \) (primo), es un factor de n.

Así simplemente:

\( f((n-p)/2)=\dfrac{n-\dfrac{n-p}{2}}{n-(n-p)}=\dfrac{n+p}{2p} \)

Si \( p \) es un divisor de \( n \), \( n=pk \) y entonces:

\( f((n-p)/2)=\dfrac{pk+p}{2p}=\dfrac{k+1}{2} \)

Si \( n \) es impar \( k \) es impar y por tanto \( k+1 \) es par y ese cociente entero.

Saludos.

[muntius]

Muchas gracias. Le quedo agradecido.