Hola a todos.
Quería consultar si mi solución a este problema es correcta.
Sea un local de \( 20 \times 15 \ m^2 \) de largo y ancho, \( 4 \ m \) de altura, que se va llenando de clientela, la mayoría fumadora. El humo de los cigarrillos tiene \( 4 \)% de CO, y una exposición a más del \( 0.012 \)% de CO puede ser fatal.
El humo entra al local a razón de \( 0.006 \ m^3 / min \). Hay ventiladores que eliminan el humo a una velocidad 10 veces mayor a la que se produce el humo. Se pide:
a) Formular una EDO para la concentración de CO a lo largo del tiempo t.
b) Encontrar en qué momento se alcanzará la concentración fatal de CO.
c) A qué velocidad deberían funcionar los ventiladores que extraen el humo para que nunca se alcance dicha concentración fatal.
Mi planteamiento es:
\( V = 20 · 15 · 4 = 1200 \ m^3 \) es el volumen del local, \( Q = 0.006 \ m^3 /min \) es el flujo de entrada del humo y \( 10 Q \) es el de salida. Sea \( x(t) \) la concentración de CO.
La tasa de entrada de CO es \( 4 \)% · \( Q = 0.00024 \ m^3/min \). La concentración en el local es \( x/V \), luego la tasa de salida es \( x/V · 0.06 = \frac{x}{20000} \). Así, la EDO es:
\( \frac{dx}{dt} = 0.00024 − \frac{x}{20000} \)
Para b) resuelvo esta EDO con condición inicial \( x(0) = 0 \) y encuentro el tiempo en que \( x(t) = 0.144 \) donde \( x_{fatal} = 1200 · 0.00012 \).
Finalmente, en c) hago \( \frac{dx}{dt} = 0 \) y busco \( Q_0 \) tal que \( 0.00024 − \frac{x_0}{V} Q_0 = 0 \) con \( x_0 = 0.144 \).
Gracias de antemano. Saludos.
